Complex Analysis 笔记

看的是 Richard E Borcherds 的 https://www.youtube.com/playlist?list=PL8yHsr3EFj537_iYA5QrvwhvMlpkJ1yGN

Lecture 1 Introduction

复分析研究的问题有这样的一些特性：

1. Euler: $e^{-x}=\cos x+i\sin x$
2. complex function: $\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$，如果它一次可微，那么它就任意次可微

3. 积分上，在复平面积分时，从一个点到另一个点有不同的 path。但是实际有：

   Cauchy's Theorems：如果 $f(x)$ 可微，$\int_0^1f(x)dx$ almost independent of path 0, 1

   这样的好处是，例如 $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$ 或者 $\sum{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}$ 可以用 complex integration 解决

4. analytic continuation

   对于复函数来说，(0, 1) 区间的可微函数的值，会 determined uniquely on larger open connected set

   一个例子是 Riemann zeta function

   $\zeta(s)=\sum\frac{1}{n^{s}}$

   黎曼猜想是，这个函数的所有零点，要不是实的，要不其实部是 $1/2$。

   注意这个函数从实数角度，只有 $s>1$ 的时候级数才会收敛。但是这个函数可以 analytic continued，所以才有了黎曼猜想。

   黎曼猜想的意义在于，黎曼发现质数在实数轴上的频率和 $\zeta(s)$ 零点的虚部有关，振幅和实部有关。（没听懂...）

5. complex dynamics

   mandelbrot set: 考虑用这样的方式迭代，$z\rightarrow z^2 + c$，任取一个 $z_0$，如果这个迭代的结果是有界的，那么 $c$ 属于 mandelbrot set。

Lecture2 Arithmetic

complex number: $x + iy$

从抽象代数的角度，复数的定义是，$\mathbb{C}=\mathbb{R}[i]/i^2+1$，即 ring of polynomials over the real，其中 $i$ 是变量，quotient ideal $i^2+1$。这样直接就有了对应的加减乘法。

除法需要单独定义。$a+ib$ 有逆，当其不等于 0 （$0 + i0$）的时候。

complex conj 保持任何的复数特征。实际上 $z\rightarrow \bar{z}$ 是 $\mathbb{C}$ 的 automorphism。在 Galois theory 中，这被称为 Galois Group of $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 是 $\{1,\bar{\phantom{a}} \}$。

由此，我们可以定义 $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}$，这样分母就是实数了。

继续定义 $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$，即和 0 的距离。

很多人尝试去扩展复数，没有杀人做到 3 维的，4 维的有 hamliton 扩展的 quaternion：

$\begin{aligned} a + bi + cj+dk\\ ij=k=-ji\\ jk=i=-kj\\ ki=j=-ih \end{aligned}$

（感觉不太意思... 不记了..

Lecture 5 Holomorphic functions

首先看 real derivative: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$，$f$ 被称为在 $x_0$ differentiable，如果 $f$ approximate linear，即：

$f(x)=f(x_0) + a(x - x_0) + \text{small error}$

那么我们可以将导数表示为 $\lim_{dx\rightarrow0}\frac{d f}{dx}$。

继续考虑 real derivative of complex function，$w=u(x,y)+iv(x,y)$ 是 $z=x +iy$ 的函数，那么它 approximate linear 意味着：

$\left(\begin{matrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}u(x_0,y_0)\\v(x_0,y_0)\end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x-x_0\\y-y_0\end{matrix}\right)+\text{small error}$

实际上：

$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{matrix}\right)$

进一步，我们来定义 complex derivative，$w(z)=w(z_0)+A(z-z_0)+\text{small error}$，然后来研究一下 $A$ 是啥。如果我们把 $A(z-z_0)$ 用矩阵形式展开，会有：

$\left(\begin{matrix}Re(A)&-Im(A)\\Im(A)&Re(A)\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x-x_0\\y-y_0\end{matrix}\right)$

那么对应上面的形式，也就有：

$\left(\begin{matrix}Re(A)&-Im(A)\\Im(A)&Re(A)\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{matrix}\right)$

也就是：

$\begin{aligned} Re(A)=\frac{\partial u}{\partial x}&=\frac{\partial v}{\partial y}\\ Im(A)=\frac{\partial v}{\partial x}&=-\frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned}$

这被称为 Cauchy-Riemann equations，此时 $A=\lim_{dz\rightarrow 0}\frac{dw}{dz}$。

定义：某一个开集 $U\subseteq\mathbb{C}$ 上定义的函数 $w(z)$ 别成为 holomorphic，如果他在 $U$ 上处处都有 complex derivative。

• holomorphic 是复分析中最重要的概念
• 这个词的原意和这个定义没啥关系....
• 有的时候会成为 analytic，不过 analytic 更精确地是指在每个点上可以级数展开

定义：Wertinger derivatives 是这样定义的：

$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}),\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y})$

• 这么定义的原因是：

  $\frac{\partial z}{\partial z}=1,\frac{\partial \bar{z}}{\partial z}=0\\ \frac{\partial z}{\partial \bar{z}}=0,\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}}=1$

  然后如果这么定义的话，Cauchy Riemann equation 就变成了

  $\frac{\partial w}{\partial \bar{z}}=0$

  这样 informally 地说，holomorphic 的意思是 $w$ depend on $z$ but not $\bar{z}$。

一些比较 trivial 的 holomoprhic example 的例子：

• 1， $z$；
• 如果 $f,g$ 都是，那么 $f+g,f-g,fg,f/g,f\circ g$ 都是；
• $\sin,\cos,\tan,\log,\exp$ 啥的都是；

一些不那么 trivial 的：

• $\frac{df}{dz}$ 是 holomorphic 的（之后再证
• $Re(z),Im(z),|z|,z\bar{z}$ 都不是 holomorphic

哪些 $x,y$ 的多项式是 holomorphic 呢？

• 我们可以用 $z,\bar{z}$ 表示 $x,y$，然后可以用 $\frac{\partial w}{\partial \bar{z}}=0$