Fourier Inversion Theorem 证明

在看 The Principles of Quantum Mechanics 的时候，发现定义 $\delta$ 函数用了 Fourier Inversion Theorem，感觉这个定理挺不直观的，所以看一下它是怎么证明的。这里我选用的是 Big Rudin 第 9 章的定义。

相关的实分析/复分析定义与定理

定理 1.34 Lebesgue's Dominated Convergence Theorem ：假设 $\{f_n\}$ 是 $X$ 上一个 complex measurable function，且满足对于任意 $x\in X$ 都有：

$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n{x}$

如果存在 $g\in L^1(\mu)$ 满足：

$|f_n(x)|\le g(x)\quad (n=1,2,3,...; x\in X)$

那么 $f\in L^1(\mu)$ 且：

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X|f_n-f|d\mu=0\\ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_Xf_nd\mu=\int_Xfd\mu$

（即求极限和积分可以换）

定理 3.12：令 $S$ 为 $X$ 上 the class of all complex, measurable, simple functions，满足：

$\mu(\{x:s(x)\ne0\})<\infty$

如果 $1\le p<\infty$，那么 $S$ 在 $L^p(\mu)$ 上 dense。

定理 8.8 Fubini Theorem：令 $(X,\mathcal{I},\mu)$ 和 $(Y,\mathcal{J}, \lambda)$ 为 $\sigma$-finite measure space，且 $f$ 是 $(X\times Y)$ 上 $(\mathcal{I}\times\mathcal{J})$-measurable function，

1. 如果 $0\le f\le \infty$，且：

   $\varphi(x)=\int_Yf_xd\lambda,\quad\psi(y)=\int_Xf_yd\mu\quad(x\in X,y\in Y)$

   那么 $\varphi$ 是 $\mathcal{I}$ -measurable，$\psi$ 是 $\mathcal{J}$-measurable，且：

   $\int_X\varphi d\mu=\int_{X\times Y}fd(\mu\times \lambda)=\int_Y\psi d\lambda$

2. 如果 $f$ 是 complex 的，且：

   $\varphi^*(x)=\int_Y|f|_xd\lambda\quad\text{且}\quad\int_X\varphi^*d\mu<\infty$

   那么 $f\in L^1(\mu\times\lambda)$。

注意第二个式子可以写为：

$\int_Xd\mu(x)\int_Yf(x,y)d\lambda(y)=\int_Yd\lambda(y)\int_Xf(x,y)d\mu(x)$

（即积分顺序可以换）

Fourier Transforms

定义 9.1：

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dm(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$

其中 $dx$ 对应 ordinary Lebesgue measure。以及：

$\begin{aligned} ||f||_p=\left\{\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^pdm(x)\right\}^{1/p}\quad(1\le p < \infty)\\ (f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)dm(y)\quad(x\in R^1)\\ \hat{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixt}dm(x)\quad(t\in R^1) \end{aligned}$

以及我们会用 $L^p$ 表示 $L^p(R^1)$，用 $C^0$ 表示 the space of all continuous functions on $R^1$ which vanish at infinity。

如果 $f\in L^1$，且最后的积分对于任意实数 $t$ 都有定义，则 $\hat{f}$ 被称为 $f$ 的 Fourier transform。注意 Fourier transform 也只这个映射关系。

定理：假设 $f\in L^1$，$\alpha, \lambda$ 为实数，那么：

1. 如果 $g(x)=f(x)e^{i\alpha x}$，那么 $\hat{g}(t)=\hat{f}(t-\alpha)$；
2. 如果 $g(x)=f(x-\alpha)$，那么 $\hat{g}(t)=\hat{f}(t)e^{-i\alpha t}$；
3. 如果 $g\in L^1$ 且 $h=f*g$，那么 $\hat{h}(t)=\hat{f}(t)\hat{g}(t)$

所以 Fourier transform 把乘法转为了平移，把卷积转为了乘法。

4. 如果 $g(x)=\overline{f(-x)}$，那么 $\hat(g)(t)=\overline{\hat{f}(t)}$；
5. 如果 $g(x)=-ixf(x)$ 且 $g\in L^1$，那么 $\hat{f}$ 可微且 $\hat{f'}(t)=\hat{g}(t)$。

6. 这里除了 5 之外都是可以直接套上面的定义证明的（3 要用 Fubini Theorem），5 则是要使用 Lebesgue's Dominated Convergence Theorem（交换积分和求极限），即：

   $\begin{aligned} \hat{f'}(t)&=\lim_{s\rightarrow t}\frac{\hat{f}(s)-\hat{f}(t)}{s - t}=\lim_{s\rightarrow t}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixt}\frac{e^{-ix(s-t)}-1}{s-t}dm(x)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixt}\lim_{s\rightarrow t}\frac{e^{-ix(s-t)}-1}{s-t}dm(x)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}-ixf(x)e^{-ixt}dm(x)=\hat{g}(t) \end{aligned}$

辅助函数 9.7：为了证明 inversion theorem，我们需要一个 positive function，其有 positive Fourier transform 并且 Fourier transform 的积分很好算。为了一些我目前看不懂的原因，我们选了：

$H(t)=e^{-|t|}$

并定义：

$h_\lambda(x)=\int_{-\infty}^{\infty}H(\lambda t)e^{itx}dm(t)\quad(\lambda>0)$

我们可以比较容易算出：

$h_\lambda(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\lambda}{\lambda^2+x}\\ \int_{-\infty}^{\infty}h_\lambda(x)dm(x)=1$

另外，要注意到 $0<H(t)\le1$，以及当 $\lambda\rightarrow1$ 时，$H(\lambda t)\rightarrow 1$。

命题 9.8：如果 $f\in L^1$，那么：

$(f*h_\lambda)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}H(\lambda t)\hat{f}(t)e^{ixt}dm(t)$

• 简单用一下 Fubini's theorem

  $\begin{aligned} (f*h_\lambda)(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)dm(y)\int_{-\infty}^{\infty}H(\lambda t)e^{ity}dm(t)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}H(\lambda t)dm(t)\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)e^{ity}dm(y)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}H(\lambda t)dm(t)\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{it(x-y)}dm(y)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}H(\lambda t)\hat{f}(t)e^{ixt}dm(t) \end{aligned}$

  （这里第三行那里总感觉少了个负号...）

定理 9.10：如果 $1\le p<\infty$ 且 $f\in L^p$，那么：

$\lim_{\lambda\rightarrow0}||f*h_\lambda-f||_p=0$

我们比较在意 $p=1$ 或 $p=2$ 的情况，不过一般情况也比较好证。

• 由 9.7 中的结论（积分为 1），有：

  $(f*h_\lambda)(x) - f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}[f(x-y)-f(x)]h_\lambda(y)dm(y)$

  而定理 3.3 给出：

  $|(f*h_\lambda)(x) - f(x)|^p\le\int_{-\infty}^{\infty}|f(x-y)-f(x)|^ph_\lambda(y)dm(y)$

  两边关于 x 积分，并用 Fubini's theorem 换一下积分顺序，就有：

  $||(f*h_\lambda)(x) - f(x)||^p_p\le\int_{-\infty}^{\infty}||f(x-y)-f(x)||^p_ph_\lambda(y)dm(y)$

  取 $g_y=||f_y-f||_p^p$，则由定理 9.5 得到 $g$

定理 9.11 The Inversion Theorem：如果 $f\in L^1$ 且 $\hat{f}\in L^1$，并且：

$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(t)e^{ixt}dm(t)$

则 $g\in C_0$ 且 $f(x)=g(x)$。

这里我们根据定义简单展开一下，其实是说：

$f(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixt}dx\ e^{iyt}dt$

还有：

$\begin{aligned} f(0)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ixt}dt \end{aligned}$

• 由上面的命题 9.8，有，

  $(f*h_\lambda)(x)=\int_{-\infty}^\infty H(\lambda t)\hat{f}(t)e^{ixt}dm(t)$

  由 dominated convergence theorem，右侧收敛为 $g(x)$。而由定理 9.10，我们可以选一个序列 $\{\lambda_n\}$，满足 $\lambda_n\rightarrow0$，有

  $\lim_{n\rightarrow\infty}(f*h_{\lambda_n})(x)=f(x)$

  所以 $g(x)=f(x)$。