Geometrical Anatomy of Theoretical Physics 笔记（上）

看的是 Frederic Schuller 的课：https://www.youtube.com/playlist?list=PLPH7f_7ZlzxTi6kS4vCmv4ZKm9u8g5yic

Lec 4 Topological spaces - construction and purpose

定义：令 $M$ 为某个集合，那么 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}(M)$ 被称为 topology on $M$，如果：

1. $\varnothing\in\mathcal{O}$ 且 $M\in\mathcal{O}$
2. $U,V\in\mathcal{O}\Rightarrow U\cap V\in\mathcal{O}$
3. $C\subseteq \mathcal{O}\Rightarrow \cup C\in\mathcal{O}$

且 $(M, \mathcal{O})$ 被称为 topological space。

Remark，除非 $|M|=1$，那么对于 $M$ 可以选择多个不同的 topology。

例如：

• $\forall M,\mathcal{O}=\{\varnothing, M\}$ 是 topology，被称为 chaotic topology；
• $\forall M,\mathcal{O}=\mathcal{P}(M)$，被称为 discrete topology；

• $M=\mathbb{R}^d$，$\mathcal{O}_{\text{standard }\mathbb{R}^d}$ 通过 3 步构造：

  1. $\forall x\in\mathbb{R}^d,\forall r\in\mathbb{R}^+$，定义

     $B_r(x):=\{y\in\mathbb{R}^d|\ ||y-x||_2<r\}$

     为 $x$ 处半径为 $r$ 的 open ball（这里可以不是 2 范数，而是 $2n$ 范数）

  2. 对于 $\forall p\in U\in\mathcal{O}_{\text{standard }\mathbb{R}^d},\exists r\in\mathbb{R}^+:B_r(p)\subseteq U$
  3. 证明 $\mathcal{O}_{\text{standard }\mathbb{R}^d}$ 是 topology。

construction of new topology from given topologies

定义：对于 topo space $(M, \mathcal{O})$ 来说，如果 $N\subseteq M$，那么

$\mathcal{O}|_N:=\{U\cap N|U\in\mathcal{O}\}$

是 $N$ 上的 topology，被称为 induced (subset) topology。

定义：$(M,\mathcal{O})$ 为 topo space，$C\subseteq M$ 被称为 closed，如果 $M/C$ 是 open 的。

定义：$(A, \mathcal{O}_A),(B, \mathcal{O}_B)$，product topology $\mathcal{O}_{A\times B}$，为：

$U\in \mathcal{O}_{A\times B} \Longleftrightarrow \forall (a,b)\in U,\exists a\in S\in\mathcal{O}_A,b\in T\in\mathcal{O}_B:S\times T\subseteq U$

convergence

定义：一个序列 $q:\mathbb{N}\rightarrow M$ 在 topo space $(M,\mathcal{O})$ 上，被称为收敛至 $a$，如果

$\forall a\in U\in \mathcal{O},\exist N\in\mathbb{N}:\forall n>N,q(n)\in U$

例如：

• 对于 chaotic topology，所有序列都在任何一点收敛；
• 对于 discrete topology，只有 almost constant sequence converge（只有有限项不是常数）;
• $(\mathbb{R}^d,\mathcal{O}_\text{st})$，就是正常的收敛定义。

continuity

定义：topo space $(M,\mathcal{O}_M),(N,\mathcal{O}_N)$，考虑映射 $\phi:M\rightarrow N$，$\phi$ 被称为 continuous 如果

$\forall V\in\mathcal{O}_N: \text{preim}_{\phi}(V)\in\mathcal{O}_M$

例如：

• $\phi:M\rightarrow N$，如果 $M$ 选 $\mathcal{P}(M)$ 为 topology，那么任何映射都是连续的；
• $\phi:M\rightarrow N$，如果 $N$ 选 $\{\varnothing,N\}$ 为 topology，那么任何映射都是连续的；
• 如果两者都选 $\mathcal{O}_\text{st}$，就会回到普通的连续性定义。

定义：$\phi:M\rightarrow N$ 是双射，如果我们 equip $M,N$ 为 $(M,\mathcal{O}_M),(N,\mathcal{O}_N)$，那么我们称 $\phi$ 为 homeomorphism，如果 $\phi$ 和 $\phi^{-1}$ 都是连续的。

Remark：homeo 是 structure-preserving maps in topology。我们可以称有 homeo 的 2 个 topo space 为 $(M,\mathcal{O}_M)\cong_{\text{topo}}(N,\mathcal{O}_N)$。

Lec 5 Topological spaces - some heavily used invariants

separation properties

定义：topological space $(M, \mathcal{O})$ 被称为 $T_1$，如果对于任意 2 个不同的点 $p\ne q$，$\exists p\in\mathcal{U}\in\mathcal{O}: q\notin\mathcal{U}$

定义：topological space $(M, \mathcal{O})$ 被称为 $T_2$，也被称为 Hausdorff space，如果对于任意 2 个不同的点 $p\ne q$，$\exist p\in\mathcal{U}\in\mathcal{O},q\in\mathcal{V}\in\mathcal{O}:\mathcal{U}\cap\mathcal{V}=\varnothing$。

例如，

• $(\mathbb{R}^d,\mathcal{O}_\text{st})$ 是 $T_2$，所以也是 $T_1$
• Zariski topology（algebraic geometry），是 $T_1$，而不是 $T_2$
• chaotic topology $\{\varnothing, M\}$，不是 $T_1$

Remark：还有，$T_{2\frac{1}{2}}$、$T_3$、$T_4$...

另外，可以证明，所有在 Hausdorff space convergence 的 sequence，都有 unique convergence point。

compactness & paracompactness

我们常会先去在 compact 的场景下证明拓扑空间的性质，然后再尝试扩展至 non-compact 的情况。paracompactness 则是弱很多的一个特性，很难找到 topological space 不是 paracompact 的，所以大多数后面的定理都会用 paracompact 作为基本假设（类似于用上面的 $T_2$ 做假设）。

定义：topological space $(M, \mathcal{O})$ 被称为 compact，如果所有 open cover，有有限的 subcover，即：

$C\subseteq\mathcal{O},\cup C=M\Longrightarrow \exists \tilde{C}\subseteq C,\tilde{C}\text{ finite},\cup \tilde{C}=M$

定义：集合 $N\subseteq M$ 被称为 compact，如果 $(N, \mathcal{O}|_N)$ 是 compact 的 topological space。

定理：Heine-Borel，在一个 metric space $(M, d)$（有 metric-induced topology），所有 close 且有界的 M 的子集是 compact 的。

• 这里 metric 指，$d:M\times M\rightarrow \mathbb{R}^+_0$，满足：

  1. $d(m,m)=0$
  2. $d(m,n)\ge0$，iff 在 $m=n$ 时取等
  3. $d(a,b)+d(b,c)\ge d(a,c)$

  在微分几何中，metric 的定义有区别。

• metric induced topology 和 $\mathbb{R}^d$ 上的 standard topology 类似，不过 open ball 是通过 metric 定义的：

  $B_{r\in\mathbb{R}^+}(p)=\{q|d(q,p)<r\}$
• 一个有名的 metric 是 French railroad metric：所有火车都要先经过巴黎。

例如：

• $[0, 1]$ 是 compact 的
• $\mathbb{R}$ 不是 compact 的（通过构造一个没有 finite subcover 的 cover 来证明）

定理：$(M, \mathcal{O}_M), (N, \mathcal{O}_N)$ 是 compact，那么 $(M\times N, \mathcal{O}_{M\times N})$ 是 compact 的。

定义：topological space $(M, \mathcal{O})$ 被称为 paracompact，如果所有 open cover $C$，有一个 open refinement $\tilde{C}$，其是 locally finite 的。

• open refinement 仍然是一个 open cover，它满足，$\forall\ U\in C, \exists\ \tilde{U}\in\tilde{C},\tilde{U}\subseteq U$。

  • 所有 subcover 都是一个 refinement。
• locally finite 指，$\forall p\in M,\exists p\in U\in C$，只有有限个 $\tilde{U}\in\tilde{C}$，满足 $U\cap \tilde{U}\ne\varnothing$。

推论：compact 则 paracompact。

定理：所有 metrizable space（即可以 equip with metric 的 space）是 paracompact 的。

例如：

• $(\mathbb{R}^d,\mathcal{O}_\text{st})$ 是 paracompact 的
• alexander long line 是一个不是 paracompact 的奇特反例（the theory of odinal number）

大多数物理研究的空间都是 paracompact 的。

定理：如果 $(M, \mathcal{O}_M)$ 是 paracompact 的，$(N, \mathcal{O}_N)$ 是 compact 的，那么 $M\times N$ 是 paracompact 的。

• 这里其实 $M\times N$ 这个集合是没有 paracompact 这种性质的（因为这是个拓扑性质），但是当我们没有显示说明的时候，实际上考虑的是 $\mathcal{O}_{M\times N}$ 这种 product 拓扑。

定理：令 $(M, \mathcal{O})$ 是 Hausdorff topo space，那么它是 paracompact 的，iff，所有 open cover admits a partition of unity subordinate to that cover。

• a partition of unity subordinate to that cover 是指一个 continuous functions 的集合 $\mathcal{F}$ ，其中满足 $f\in\mathcal{F}:M\rightarrow [0,1]$，且：

  1. $\forall f\in\mathcal{F},\exist U\in C, \text{s.t.},f(p)\ne 0\Rightarrow p\in U$
  2. $\forall p\in M,$ 存在 open neighborhood $p\in V\in\mathcal{O}$，s.t. 只有有限个 $f_1,f_2,...f_N\in \mathcal{F}$ 满足 $\forall p\in V, f_i(p)\ne 0$，并且 $\sum_{n=1}^N f_n(p)=1$。
• 这个东西是用来处理流形上的积分问题的。

例如：

• $(\mathbb{R}^d,\mathcal{O}_\text{st})$，考虑由 2 个 open set $(-\infty,a),(b,+\infty),b<a$ 组成的 open cover，那么我们可以构造：

  $f_1=\begin{cases} 1 & x \le b \\ \frac{a-x}{a-b} & b < x < a \\ 0 & x \ge a \end{cases}, f_2=\begin{cases} 0 & x \le b \\ \frac{x-b}{a-b} & b < x < a \\ 1 & x \ge a \end{cases}$

  会发现这两个函数满足，两者的和在 2 个集合上的和均为 1，且满足第一条的对应关系，所以 $\{f_1,f_2\}$ 是这个 open cover 的一个 partition of unity。

  如果我们在这 2 个集合上分别定义积分，那么可以用 parition of unity 来作为重叠部分积分的权重。

connectness & path-connectness

定义：topological space $(M, \mathcal{O})$ 被称为 connected，除非，存在 2 个非空，且不相交的开集 $A,B$，使得 $M=A\cup B$。

定理：$[0,1]$ 是 connected 的。

定理：topological space 是 connected，iff，$\varnothing$ 和 $M$ 是仅有的 2 个即为开集也为闭集的集合。

• 这个证明比较显然。

定义：topological space $(M, \mathcal{O})$ 被称为 path-connected，如果对于任意 2 点 $p,q\in M$，存在 continuous curve $\gamma : [0,1]\rightarrow M$，s.t. $\gamma(0)=p,\gamma(1)=q$。

例如：

• $S:=\{(x,\sin(\frac{1}{x}))|x\in(0,1]\}\cup \{(0,0)\}\subseteq \mathbb{R}^2$，这个集合不是 path connected，而是 connected。

定理：path connected $\Rightarrow$ connected

• 比较好证，可以反推成 $[0,1]$ not connected

Homotopic curves & Fundamental group

之前的 properties 的回答都是是或否，现在我们要定义 group value 相关的 property。

定义：2 条曲线，$\gamma : [0,1]\rightarrow M,\delta : [0,1]\rightarrow M$，满足 $\gamma(0)=\delta(0),\gamma(1)=\delta(1)$，其中 $(M,\mathcal{O})$ 是 topological space，被称为 homotopic，如果存在 continuous map $h : [0,1]\times[0,1]\rightarrow M$，s.t. $h(0, \lambda)=\gamma(\lambda), \gamma\in[0,1],h(1, \lambda)=\delta(\lambda), \gamma\in[0,1]$。

定义：$\gamma\sim\delta\Longleftrightarrow\gamma,\delta$ homotopic。这是一种等价关系。

定义：topological space $(M,\mathcal{O})$，$\forall p\in M$，定义 space of loops at $p$，为：

$\mathcal{L}_p:=\{\gamma:[0,1]\rightarrow M,|\gamma\text{ continuous, }\gamma(0)=\gamma(1)\}$

（且经过 $p$）

定义：$*_p:\mathcal{L}_p\times \mathcal{L}_p\rightarrow \mathcal{L}_p$

$(\gamma*\delta)(\lambda):=\begin{cases} \gamma(2\lambda) & 0\le \lambda < 1/2\\ \delta(2\lambda - 1) & 1/2 < \lambda \le 1\\ \end{cases}$

这被称之为 concatenation operation。

定义：the fundamental group $(\pi_{1p},\cdot)$ of a topological space，是：

$\pi_{1p}=\mathcal{L}_p/\sim(\text{homotopy})$

以及：

$\begin{aligned} \cdot := &\pi_{1p}\times\pi_{1p}\rightarrow \pi_{1p}\\ &[\gamma]\times [\delta]:=[\gamma * \delta] \end{aligned}$

$\cdot$ 是 associative 的，其 unity 是 constant curve，反向运行的 curve 是 inverse。

例如：

• 考虑 $S^2$，all loop are homotopic to each other，所以 $\pi_1=\{[\gamma_{\text{ident,p}}]\}$
• $C:=\mathbb{R}\times S^1$（圆柱），绕不同圈数是不同的，正反绕也是不同的，所以 $\pi_1\cong \mathbb{Z}$，进一步 $(\pi_1,\cdot)\cong_\text{group} (\mathbb{Z},+)$。
• $T^2:=S^1\times S^1$（也就是甜甜圈），可以有 2 种圈，$\pi_1\cong \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$

可以通过 fundamental group 来看出他们相互不能 homeomorphism。

Lec 6 Topological manifolds and manifold bundles

topological manifold

topological manifold 也是一种特殊的 topological space，只是它太特殊了，所以我们常常直接用 manifold 代称。

粗略地说，topo manifold 是一个 topo space，其 locally 像 $\mathbb{R}^d$（$d$ 是固定的）。例如 $T^2$、$S^2$ 之类的东西都是。

定义：一个 paracompact，Hausdorff topo space $(M, \mathcal{O})$，被称为一个 $d$-dimensional (topo) manifold，如果对于任意 $p\in M$，存在 $p\in U\in\mathcal{O}$，以及一个 homeomorphism $x: U\rightarrow x(U)\subseteq\mathbb{R}^d$。

我们可以从旧的 manifold 创建新的 manifold。

定义：topo manifold $(M,\mathcal{O})$ (dimension $d$)。$N\subseteq M$，我们称 $(N,\mathcal{O}|_N)$ 为 submanifold，如果其自己也是一个 manifold。

例如：

• 考虑 $M=\mathbb{R}^2, \mathcal{O}_\text{st}$，$N=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$，$(N,\mathcal{O}|_N)$ 是 submanifold。
• 如果上面的例子中，$N$ 是 2 个相切的圆，那就不是 submanifold，因为切点那里不能表示为 $\mathbb{R}^d$

定义：$(M,\mathcal{O}_M)$，$(N,\mathcal{O}_N)$ 分别是 topo manifold，那么 $(M\times N,\mathcal{O}_{M\times N})$ 是 topo manifold，其维度是 $\text{dim} M + \text{dim} N$，称之为 product manifold。

例如：

• $T^2=S^1\times S^1$ 是 manifold
• 莫比乌斯环不是 product manifold，尽管 locally 看起来像是 product manifold

由 product，进一步我们定义 bundle。

bundles

定义：a bundle (of topo manifold)，是 $(E, \pi, M)$，其中 $E$ 是 topo manifold 被称为 total space，$M$ 也是 topo manifold，被称为 base space，$\pi$ 是 surjective continuous map $\pi:E\rightarrow M$，被称为 projection。对于 $p\in M$，定义 $F_p := \text{preimage}_\pi(\{p\})$ 为 $p$ 处的 fibre。

例如：

• $M,F$ 是 topo manifold，定义 $E=M\times F$，$\pi : M\times F\rightarrow M, (p,f)\mapsto p$，我们会发现这么定义的 $\pi$ 是 continuous 的，这是一个 bundle。
• 如果 $E$ 是莫比乌斯环，$M=S^1$，虽然 $E$ 不是 product manifold，但是可以定义 $\pi$，使得 $\text{preimage}_\pi(\{p\})=[-1, 1]$，所以是一个 bundle。

定义：bundle $E\xrightarrow{\pi}M$，满足 $\forall p\in M,\text{preimage}_\pi(\{p\})\cong F$ for some manifold $F$，那么 $E\xrightarrow{\pi}M$ 被称为 fibre bundle，with (typical) fibre $F$。记为，$F\rightarrow E\xrightarrow{\pi}M$（正常标记是 2 个箭头是相互垂直的）。

定义：bundle $E\xrightarrow{\pi}M$，map $\sigma : M\rightarrow E$ 被称为 bundle 的 section，如果 $\pi\circ \sigma=\text{id}_M$。

一个物理上的例子，量子力学中的 wave function，其实是 section of $C$-line bundle on physical space（$\mathbb{R}^3$）。（这里 $C$ 是 complex line）

注意这些概念的关系：$\text{product manifold} \subseteq \text{fibre bundle} \subseteq \text{bundle}$。

定义：bundle $E\xrightarrow{\pi}M$，$E‘\xrightarrow{\pi‘}M’$ 是 subbundle，如果 $E'\subset E,M'\subset M,\pi'=\pi|_{E'}$（这里 subset 符号指 submanifold）

定义：bundle $E\xrightarrow{\pi}M$，如果 $N$ 是 $M$ 的 submanifold，那么$\text{preimg}_\pi(N)\xrightarrow{\pi|_{\text{preimg}_\pi(N)}}N$ 为 restricted bundle。

定义：考虑 2 个 bundle，$E\xrightarrow{\pi}M$，$E'\xrightarrow{\pi'}M'$，以及 2 个 map，$u: E\rightarrow E',f:M\rightarrow M'$，那么如果 $\pi'\circ u=f\circ\pi$，那么称 $u,f$ 为 bundlemorphism。

定义：2 个 bundle $E\xrightarrow{\pi}M$，$E'\xrightarrow{\pi'}M'$ 被称为 isomorphic as bundles，如果存在 bundlemorphism $(u,f)$ 与 $(u^{-1}, f^{-1})$。这样的 $(u, f)$ 被称为 bundleisomorphism，他们显然是 relevant structure preserving map for bundles。

定义：bundle $E\xrightarrow{\pi}M$ 被称为 locally isomorphic (as a bundle) to $E'\xrightarrow{\pi'}M'$，如果 $\forall p\in M,\exists p\in u\in\mathcal{O}$，使得 restricted bundle $\text{preimg}_\pi(U)\xrightarrow{\pi|_{\text{preimg}_\pi(U)}}U$ 和 $E'\xrightarrow{\pi'}M'$ isomorphic。

一些特殊的 bundle 分类：

• 我们称 $E\xrightarrow{\pi}M$ trivial 如果其与一个 product bundle $M\times F\xrightarrow{\pi'}M$ isomorphic
• 我们称 $E\xrightarrow{\pi}M$ locally trivial 如果其与一个 product bundle $M\times F\xrightarrow{\pi'}M$ locally isomorphic

例如：

• 圆柱 trivial，莫比乌斯环 locally trivial。

我们后续会一直只考虑 locally triviality 的情况。

定义：考虑 $E\xrightarrow{\pi}M,f:M'\rightarrow M$，那么我们可以构造 pullback bundle，其 total space 为：

$E' := \{(m',e)\in M'\times E| \pi(e) = f(m')\}$

并构造 $\pi'(m',e)=m', u(m',e)=e$。这样 $E'\xrightarrow{\pi'}M'$ 就是 pullback bundle，$(u,f)$ 是 bundlemorphism。

Remark：section on a bundle pullback to a pullback bundle。

viewing manifold from atlases

定义：$(M,\mathcal{O})$ 是 $d$ 维 topo manifold，那么 $(U,x)$，其中 $U\in\mathcal{O},x: U\rightarrow x(U)\subseteq \mathbb{R}^d$ 被称为 manifold 的 chart。$x$ 的每个分量函数 $x^i : U\rightarrow \mathbb{R}$ 被称为点 $p\in U$ 的 co-ordinate with respect to chart $(U,x)$。

Remark：显然存在 chart 的集合 $\mathcal{A}$ 满足 $\cup_{(U,x)\in \mathcal{A}} U=M$，且在这种情况下，会有很多 overlap 的 chart。我们称这种 $\mathcal{A}$ 为 atlas。

定义：2 个 chart $(U,x),(V,y)$ 为 $C^0$ compatible，如果：

1. $U\cap V=\varnothing$，或
2. $x(U\cap V)$ 与 $y(U\cap V)$ 之间的转换函数 $y\circ x^{-1}$ 是连续的。

Remark：

• $y\circ x^{-1}$ 是 $\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}^d$ 的，即我们只需要考虑 coordinate 的性质；
• 因为 $x,y$ 是 continuous 的，所以任何 2 个 chart 都一定是 $C^0$ compatible 的，这只是用来在之后引入 differentiability 用的。因为这样我们就可以只考虑 $\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}^d$ 上的可微了；
• $y\circ x^{-1}$ 被称为 coordinate change map。

定义：$C^0$ atlas 是一个其任意两个 chart 都 $C^0$ compatible 的 atlas。

Remark：

• 所有 atlas 都是 $C^0$ 的。

定义：$C^0$ atlas $\mathcal{A}$ 被称为 maximal，如果任何与 chart $(Y, v)\in\mathcal{A}$ 呈 $C^0$ compatible 的 chart $(U,x)$ 都已经在 $\mathcal{A}$ 中了。

Remark：

• 考虑 $(\mathbb{R}, \mathcal{O}_\text{st})$，那么 $\mathcal{A}:=\{(\mathbb{R},\text{id}_{\mathbb{R}})\}$ 是一个 atlas。而 $\mathcal{A}':=\{(\mathbb{R},\text{id}_{\mathbb{R}}), ((-\infty, 0),\text{id}_{\mathbb{R}})\}$ 也是一个 atlas，类似地我们可以继续加 chart，这样我们可以持续这么加得到 $\mathcal{A}_\text{maximal}$；
• 因为任何两个 chart 都相互 $C^0$ compatible，所以只有一个 maximal atlas。

我们为什么要引入以上的内容呢？这让我们可以从 2 个角度来研究 manifold 上的 “object”。例如，对应曲线 $\gamma :\mathbb{R}\rightarrow M$，我们想知道它是否是连续的（例如它可能是一个粒子的轨道，那么它应该要是连续的）

• 第一个角度，我们可以去看任何一个 $M$ 中的开集，它在这个曲线函数上的 preimage。但这不是我们在物理上处理的方案；
• 第二个角度，我们会把 $U\subseteq M$ 用 chart 映射到 $\mathbb{R}^d$ 上。从而可以直接考虑从 $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^d$ 的映射，不用再去考虑 manifold 了。

Lec 7 Differentiable structures and classification

Adding structure by refining the (maximal) topological atlas

我们可以用如下方式拓展上一节中 $C^0$ atlas 这样的定义。

定义：我们称一个 atlas X-atlas 如果 $\forall (U,x),(V,y), (U,x),()V,y$ X compatible。

这里 X compatible，可以是：

1. $U\cap V=\varnothing$，或

2. $y\circ x^{-1}$ 满足：

   • $C^0$：连续（即所有都满足）；
   • $C^k$：transition maps are $k$-times continuously differentiable；
   • $C^\infty$：可以任意多次 differentiate，一般也被称为 smooth；
   • $C^\omega$：analytic manifold。例如 real analytic，就是要求 transition function 是 real analytic 的，即每点都可以被泰勒展开。是比 smooth 更强的性质；
   • complex：transition function 需要满足 Cauchy-Riemann equation，即 differentiable complex function。

目前对我们来说比较重要的是 $C^\infty$ 和 complex 条件。对于 $C^\infty$ 有如下定理：

定理，Whitney：任何 maximal $C^k$-atlas $(k\ge1)$ 包含一个 $C^\infty$-atlas。并且 2 个包含相同 $C^\infty$-atlas 的 maximal $C^k$-atlas 是相同的。

• 所以我们一般不区分 $C^k (k\ge1)$ 和 $C^\infty$，因为 $C^k$ 满足的条件总是可以推到 $C^\infty$ 的

定义：一个 $C^k$ manifold 是三元组 $(M,\mathcal{O},\mathcal{A})$，其中 $(M,\mathcal{O})$ 是 topo manifold，$\mathcal{A}$ 是 maximal $C^k$ atlas。

Remark：

• 一个给定的 topo manifold，可以有多个相互不 compatible 的 atlas。这里 compatible 是指 2 者的并集中的 chart 也相互 compatible。 例如：

  • $(M,\mathcal{O})=(\mathbb{R}, \mathcal{O}_\text{st}),\mathcal{A}_1=\{(\mathbb{R}, \text{id}_\mathbb{R})\},\mathcal{A}_2=\{(\mathbb{R}, x\mapsto x^{1/3}\}$

  这两个 atlas 都是 $C^\infty$-atlas（他们自己都只有 1 个 chart，所以 transition function 是 $\text{id}$）。但他们不 compatible，因为这两个 chart 甚至是相互不 $C^1$-compatible 的。

  • 这是因为他们两个自己内部的 $y\circ x^{-1}$ 都是 $\text{id}$，但是从 $x^{1/3}\circ\text{id}=x^{1/3}$ 在 0 点处不可导，所以不是 $C^1$-compatible 的。

  这使得我们需要考虑怎么去选取 atlas 了，非常糟糕。

定义：令 $\phi: M\rightarrow N$ 是这样的一个映射，其中 $(M,\mathcal{O}_M,\mathcal{A}_M)$ 和 $(M,\mathcal{O}_N,\mathcal{A}_N)$ 是 $C^k$ manifold，那么 $\phi$ 被称为在 $p\in M$ 点 differentiable，如果存在某个 chart $(U, x)\in \mathcal{A}_M$ 且 $p\in U$，并存在 chart $(V,y)\in\mathcal{A}_N$ 且 $\phi(p)\in V$，映射 $y\circ \phi \circ x^{-1}: \mathbb{R}^{\text{dim}M}\rightarrow \mathbb{R}^{\text{dim}N}$ 是 $C^k$ 的。

• 如果选了不同的 chart 会怎么样呢？下面来证明这个 "lifting" of the notion of differentiablity 从 chart representation 到 $\phi$ to the manifold level is well defined.

  假如说有另外一对 chart $(U, \tilde{x}), (V,\tilde{y})$（我们可以把 $U,V$ 作为覆盖 $p$ 和 $\phi(p)$ 的两个 chart 的交集）。这时，因为 $\mathcal{A}_M,\mathcal{A}_N$ 都是 $C^k$-atlas，所以 $\tilde{y}\circ y^{-1}$ 和 $x\circ \tilde{x}^{-1}$ 都是 $C^k$ 的。所以 $\tilde{y}\circ \phi\circ \tilde{x}^{-1}$ 也是 $C^k$ 的。所以只要有一组，那么所有的都满足 differentiable 条件。

定义：如果 $\phi:M\rightarrow N$ 是双射，且 $\phi$ 和 $\phi^{-1}$ 是 $C^\infty$，那么 $\phi$ 被称为 diffeomorphism。这是 isomorphism between smooth manifold (structure-preserving maps in smooth manifolds)。

定义：$(M,\mathcal{O}_M,\mathcal{A}_M)$ 和 $(N,\mathcal{O}_N,\mathcal{A}_N)$ 被称为 diffeomorphic，如果他们之间存在一个 diffeoorphism。写作，$M\cong_{\text{diff}}N$。

Remark:

• 常认为 diffeomorphic manifold 是相同的。

• 下一个问题是，$(\mathbb{R},\mathcal{O}_\text{st},\mathcal{A}_\text{1\_max})$ 和 $(\mathbb{R},\mathcal{O}_\text{st},\mathcal{A}_\text{2\_max})$ 是否在 diffeomorphic 的角度是不是相同的。甚至进一步去问，有多少不同的 differentiable structures can one put on a given topo manifold up to diffeomrphism？

  答案是：

  • 1,2,3 维里只有一种 differentiable structure（Radon-Moise theorem）
  • 大于 4 维，有 surgery theory (1960s)，证明了只有有限个
  • 4 维，在 non-compact 的情况下，有 non-countably many；在 compact 的情况下，如果 betti number $b_2$ > 18，那么只有可数个

  （这 tm 也太难了...

  4 维的这个现状对狭义相对论有一些影响

differentiable manifold 的一个重要特征是在 manifold 的每个点上都有一个 tangent space。

Remark:

• 我们希望用拓扑结构来定义 tangent space，而不是用这个 manifold embedding 在的空间来定义（例如一个球面不能用三维空间来定义切面），后面几讲就要做这个事情
• 我们去看所有的 tangent space，会组成一个 tangent field。这个时候我们会引入 module，因为他不再是 vector space 了，但是实际的物理处理中，我们会当 vector space 用...

Lec 8 I: over a field

vector space

定义：三元组 $(K,+,\cdot)$ 是 field，如果 $K$ 是集合，两个映射 $+:K\times K\rightarrow K,\cdot:K\times K\rightarrow K$ 都满足 CANI 即 communitive, associative, neutral element, inverse（后者的 I 不能 inverse 0 点）。

Remark：

• 一个更弱的定义是 ring，ring 的乘法不满足 communitative，也没有 inverse，例如 $(\mathbb{Z},+,\cdot)$（不过这个例子是communitative ring）、$M_{m\times m}(\mathbb{R})$

定义：$K$-vector space (over a field $K$)是一个这样的三元组 $(V,\oplus,\odot)$，其中 $\oplus:V\times V\rightarrow V,\odot:K\times V\rightarrow V$，$\oplus$ 满足 CANI，后者满足 ADDV。

• 如果 $K$ 是 ring，那么我们不称为 vector space，而是称为 module over a ring。

定义：$U\subseteq V$ 是 vector subspace，如果 $\forall u_1,u_2\in U,u_1\oplus u_2\in U$ 以及 $\forall \lambda\in K,u\in U,\lambda \odot u \in U$。

• 之后就不写加法和乘法外的圈了....

定义：$f:V\rightarrow W$，其中 $V,W$ 都是 vector space，是 linear map，如果他满足：

1. $\forall v1, v2\in V,f(v_1+v_2)=f(v_1) + f(v2)$
2. $\forall \lambda\in K, v\in V,f(\lambda v)=\lambda f(v)$
3. bijective linear map 被称为 vector space isomorphism，类似地 $V\cong_\text{vec} W$ （isomorphic）如果他们之间存在 isomorphism。

定义：定义集合 $\text{Hom}(V,W):=\{f:V\xrightarrow{\sim}W \}$ （一般用 $\sim$ 表示线性映射），这个集合可以作为 vector space，通过定义：

• $\oplus : \text{Hom}(V,W)\times \text{Hom}(V,W)\rightarrow \text{Hom}(V,W)$ 为 $(f\oplus g)(v):= f(v) + g(v)$

• $\odot : \text{Hom}(V,W)\times \text{Hom}(V,W)\rightarrow \text{Hom}(V,W)$ 为 $(\lambda\odot g)(v):=\lambda g(v)$

  注意这点需要 $V,W$ 是 vector space，而不能是 module，因为需要 $\lambda$ 所在的 $K$ 中的乘法能 commute。

一些术语：

• $\text{End}(V):=\text{Hom}(V,V)$，称为 endomorphism
• $\text{Aut}(V):=\{f:V\rightarrow V| \text{invertible}\}$，称为 automorphism
• $\text{Aut(V)}\subseteq_\text{vec}\text{End(V)}$（subvector space）
• $V^*:=\text{Hom}(V,K)$，其中 $K$ 就是 $V$ 在上有运算的那个域。这被称为 dual vector space。

定义：$(p,q)$ tensor $T$ 是一个 multi-linear map，如果下面的每一项都是线性的。

$T:\underbrace{V^*\times\cdots\times V^*}_{p\text{ copies}}\times \underbrace{V\times\cdots\times V}_{q\text{ copies}} \xrightarrow{\sim} K$

定义：

$T^p_qV:=\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{p\text{ copies}}\otimes \underbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}_{q\text{ copies}}:=\{T|T \text{ 是 }(p,q)\text{ multi-linear tensor}\}$

其有 pointwise-addition 和 $S$-multiplication。

• 例如，对于 $(1,1)$ 的情况，

  $(T+S)(\sigma,v):=T(\sigma,v)+S(\sigma,v)\\ (\lambda\cdot T)(\sigma,v):=\lambda\cdot T(\sigma,v)$
• $(T^p_qV,\oplus,\odot)$ 是个 vector space
• 注意这里的 $p,q$ 对应的 $V,V^*$ 和 $T$ 的定义是反的。

定义：$T\in T^p_qV,S\in T^r_sV$ 的 tensor product $T\otimes S\in T^{p+r}_{q+s}$ 为

$\begin{aligned} (T\otimes S)&(v_1,...,v_p,v_{p+1},...,v_{p+r},w_1,...w_q,w_{q+1},...w_{q+s}):=\\ &T(v_1,...,v_p,w_1,...,w_q)\cdot S(v_{p+1},...,v_{p+r},w_{q+1},...,w_{q+s}) \end{aligned}$

• 注意这里的 $\otimes$ 和定义 $T^p_qV$ 的不是一个...

例子：

• $T^0_1V\cong V^*:=\{T:V\xrightarrow{\sim}K\}$，一般我们称为 covector
• $T^1_1V\cong V\otimes V^*:=\{T:V^*\times V\xrightarrow{\sim}K\}$，实际上，这 $\cong\text{End}(V^*)$ 但是一般性来说， $\not\cong \text{End}(V)$
• 一般性来说，$T^1_0V \not\cong V$
• 一般性来说 $(V^*)^*\not\cong V$，但是对于 finite dimension space 是成立的，上面 2 个 $\not\cong$ 也是。

定义：$(V,+,\cdot)$ 是 vector space，那么 $B\subseteq V$ 被称为 (Hamel) basis，如果

1. 任何有限子集 {b1,...,bN}\subseteq B$ 是线性无关的，即：

   $\sum_{i=1}^N\lambda_ib_i=0 \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_N=0$
   • 这里用有限是因为这样就可以只做有限项的和，而没有特殊结构的 vector space 没法定义 convergence
2. $\forall v\in V,\exist v_1,...,v_N\in K,b_1,...,b_N\in B,\text{ s.t. }v=\sum_{i=1}^Nv_ib_i$
3. 在没有 norm 的情况下，只能定义这种 base
4. fourier 的 $\sin,\cos$ 就不是 Hamel basis，因为不是有限项

定义：$V$ 的 dimension 是 $\dim V=|B|$。

定理：如果 $\dim V<\infty$，那么 $(V^*)^*\cong V$。

定义：$T\in T^p_qV,\dim V<\infty$，令 $e_1,e_2,...,e_{\dim V}$ 是 $V$ 的 basis，$\epsilon^1,...,\epsilon^{\dim V}$ 是 $V^*$ 的 basis，那么 $T$ 的 component 是：

$T^{a_1...a_p}_{b_1...b_q}:=T(\epsilon^{a_1},...,\epsilon^{a_p},e_{b_1},...e_{b_q})\in K$

Remark：

• 一般选用的 $V^*$ 的 basis 是由 $V$ 的 basis 推出来的，通过 $\epsilon^a(e_b)=\delta_b^a$ 来限制，这被称为 dual basis on the dual space。

• 可以通过这样的方式，由分量可以这样恢复为 $T$：

  $T=\sum_{a_1,...,a_p,b_1,...,b_q} T^{a_1...a_p}_{b_1...b_q}\odot\epsilon^{a_1}\otimes...\otimes\epsilon^{a_p}\otimes e_{b_1}\otimes...\otimes e_{b_q}$

change of basis ($\dim V<\infty$)

我们下定义 $d=\dim V$。$e_1,e_2,...,e_d$ 是 basis，我们继续定义 $\tilde{e}_a=\sum_{b=1}^d A^b_ae_b ,(a=1,2,...,d)$ 为一组新的 basis。那么问题就是，能否用这样的方式恢复 $e_a=\sum_{b=1}^d B^b_a\tilde{e}_b$。这样我们会有 $B=A^{-1}$。

下面为了简化书写，我们会把 up index 和 down index 的一对相同的数，就会求和。用这种定义方式，也就可以把上一节中的由分量恢复 $T$ 记录为：

$T=T^{a_1...a_p}_{b_1...b_q}\odot\epsilon^{a_1}\otimes...\otimes\epsilon^{a_p}\otimes e_{b_1}\otimes...\otimes e_{b_q}$

这种记录方式称为 up down notation，其中会把 $V$ basis 记录为 downstair index，即 $e_1,...,e_d\in V$，而 $V^*$ basis 为 upstair index，即 $\epsilon^1,...,\epsilon^d\in V^*$。