声学基础

线性声学波动方程

声学主要考虑的是机械波在物质间传播相关的性质，而在物质上，一般会先关注气体。在这个前提下，在考虑声波的波动方程时，主要有以下的假设：

• 质量守恒定律：

  $\nabla\cdot(\rho\textbf{u}) + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$

• 动量守恒定律：

  $\nabla p+\rho\frac{\text{d}\textbf{u}}{\text{d}t}=0$

  其中：

  $\begin{aligned} \frac{\text{d}\textbf{u}}{\text{d}t}&=\frac{\partial{\textbf{u}}}{\partial t}+ \frac{\partial{\textbf{u}}}{\partial \xi_x}\frac{\partial{\xi_x}}{\partial t}+ \frac{\partial{\textbf{u}}}{\partial \xi_y}\frac{\partial{\xi_y}}{\partial t}+ \frac{\partial{\textbf{u}}}{\partial \xi_z}\frac{\partial{\xi_z}}{\partial t}\\ \frac{\text{d}\xi}{\text{d}t}&=\frac{\text{d}(\xi_x,\xi_y,\xi_z)}{\text{d}t}=\textbf{u}(\xi_x,\xi_y,\xi_z,t) \end{aligned}$

• 能量守恒定律，这是声学推导中较为特殊的一部分，它假设声音的传播是绝热过程，即没有热量交换，所有外界做功均转变为气体的内能转化。由绝热过程，有：

  $p=K_s\rho^{\gamma}$

  其中，$\gamma=c_p/c_v$。

根据 $(4)$ 有：

$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial p}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial t}=\gamma\frac{p}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial t}$

令，$p=p_0 + p', \rho=\rho_0 + \rho'$，其中 $p_0,\rho_0$ 为 static pressure 和 equilibrium density。并设：

$c^2=\gamma\frac{p_0}{\rho_0}$

那么假如我们忽略掉所有的二阶项，例如 $\rho'\textbf{u}$，则 $(1)$ 变为：

$\begin{aligned} \nabla\cdot (\rho_0 + \rho')\textbf{u}+\frac{\partial \rho'}{\partial t}&=0\\ \rho_0\nabla\cdot\textbf{u}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial p'}{\partial t}&=0 \end{aligned}$

$(2)$ 变为：

$\nabla p'+\rho_0\frac{\text{d}\textbf{u}}{\text{d}t}=0$

对 $(8)$ 做 $\nabla$，有：

$\nabla^2p-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=0$

即得到了线性声学方程（linear acoustic equation）。并由理想气体方程 $p=\rho RT$ ，得到声速为：

$c=\sqrt{\gamma p_0/\rho_0}=\sqrt{\gamma RT}$

即声速仅由温度决定。

上述的 2 个假设（绝热过程和忽略二阶项）合称 acoustic approximation。

声压和 db

声压的测量方式为：

$L_p=10\log{\frac{(p_s^2)_{\text{avg}}}{p_{\text{ref}}^2}}$

这里空气中 $p_{\text{ref}}$ 一般取 2e-5 Pa。其单位为 db。