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测度论笔记（上）

date: 2023-11-14
tags: 数学  

看的是 IMPA 的 Measure Theory 课，教授是 Claudio Landim。

https://www.youtube.com/playlist?list=PLo4jXE-LdDTQq8ZyA8F8reSQHej3F6RFX

Lecture 1 Introduction: a non-measurable set

我们希望有这样的一个衡量集合大小的函数 λ\lambda，满足：

  1. λ\lambda 为 P(R)→R+∪{∞}\mathcal{P}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}_{+}\cup\{\infty\} 的函数，其中 P(R)\mathcal{P}(\mathbb{R}) 为 R\mathbb{R} 的全部子集；
  2. λ((a,b])=b−a\lambda((a,b])=b-a；
  3. λ(A+x)=λ(A)\lambda(A+x)=\lambda(A)，这里 +x+x 指平移 xx；
  4. λ(∪j≥1Aj)=∑j≥1λ(Aj)\lambda(\cup_{j\ge1} A_j)=\sum_{j\ge1}\lambda(A_j)。

但实际上同时满足以上条件的函数是不存在的。为了证明这件事，我们先定义一个等价关系：

x∼y:x,y∈R, if y−x∈Qx\sim y: x,y\in \mathbb{R},\text{ if } y-x\in\mathbb{Q}

并定义：[x]={y∈R∣y−x∈Q}[x]=\{y\in\mathbb{R}|y-x\in\mathbb{Q}\}。我们可以由之取 Ω\Omega，满足 Ω\Omega 中任意 2 个元素都不等价。并且我们还可以进一步限定 Ω∈(0,1)\Omega\in(0,1)。我们可以证明 ∀q,p∈Q,q≠p⇒Ω+q∩Ω+q=∅\forall q,p\in\mathbb{Q},q\ne p \Rightarrow \Omega+q\cap\Omega+q=\varnothing。

那么：

λ(∑q∈Q,−1<q<1(Ω+q))=∑q∈Q,−1<q<1λ(Ω+q)=∑q∈Q,−1<q<1λ(Ω)≤λ((−1,2))=3\begin{aligned} \lambda(\sum_{q\in\mathbb{Q},-1<q<1}(\Omega+q))=\sum_{q\in\mathbb{Q},-1<q<1}\lambda(\Omega+q)=\sum_{q\in\mathbb{Q},-1<q<1}\lambda(\Omega)\le\lambda((-1,2))=3 \end{aligned}

得到了 λ(Ω)=0\lambda(\Omega)=0

但是：

(0,1)⊆∑q∈Q,−1<q<1(Ω+q)(0,1)\subseteq\sum_{q\in\mathbb{Q},-1<q<1}(\Omega+q)

所以 λ(Ω)≠0\lambda(\Omega)\ne0，矛盾了。

那么我们就需要释放放开上面的 4 条要求，这里我们选择放开第一条，也就是函数的定义域不能是全部的 P(R)\mathcal{P}(\mathbb{R})。

Lecture 2 Classes of subsets (semi-algebras, algebras and sigma-algebras), and set functions

定义 P(Ω)⊇S\mathcal{P}(\Omega)\supseteq \mathcal{S}，我们称 S\mathcal{S} 是一个 semi-algebra，如果它满足：

  1. Ω∈S\Omega\in\mathcal{S}
  2. A,B∈S⇒A∩B∈SA,B\in\mathcal{S}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{S}
  3. A∈S⇒∃E1,...,En∈S,Ac=∑i=1nEiA\in\mathcal{S}\Rightarrow\exists E_1,...,E_n\in\mathcal{S}, A^c=\sum_{i=1}^nE_i

一个例子是：

{(a,b],a<b,a,b∈R}∪{(−∞,b],b∈R}∪{(a,∞),a∈R}\{(a,b],a<b,a,b\in\mathbb{R}\} \cup \{(-\infty,b],b\in\mathbb{R}\}\cup\{(a,\infty),a\in\mathbb{R}\}

定义 P(Ω)⊇A\mathcal{P}(\Omega)\supseteq \mathcal{A}，我们称 A\mathcal{A} 是一个 algebra，如果它满足：

  1. Ω∈A\Omega\in\mathcal{A}
  2. A,B∈A⇒A∩B∈AA,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{A}
  3. A∈A⇒Ac∈AA\in\mathcal{A}\Rightarrow A^c\in\mathcal{A}

注意，由 2,3 可以推出 A∪B∈AA\cup B\in\mathcal{A}，因为 A∪B=(Ac∩Bc)cA\cup B=(A^c\cap B^c)^c。

定义 P(Ω)⊇F\mathcal{P}(\Omega)\supseteq \mathcal{F}，我们称 F\mathcal{F} 是一个 σ\sigma-algebra，如果它满足：

  1. Ω∈F\Omega\in\mathcal{F}
  2. Aj∈F,(j≥1)⇒∩Aj∈FA_j\in\mathcal{F},(j\ge1)\Rightarrow \cap A_j\in\mathcal{F}，这里下标 jj 是 countable 的
  3. A∈F⇒Ac∈FA\in\mathcal{F}\Rightarrow A^c\in\mathcal{F}

对于 algebra 和 σ\sigma-algebra，多个他们（有限个、可数个，不可数个）的并集也是 algebra 或 σ\sigma-algebra。

定义：algebra generated by the class C⊆P(Ω)\mathcal{C}\subseteq\mathcal{P}(\Omega) 为 A(C)\mathcal{A}(\mathcal{C})，其满足：

  • C⊆A\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}
  • ∀ algebra B, if B⊇C, then B⊇A\forall \text{ algebra }\mathcal{B}, \text{ if }\mathcal{B}\supseteq\mathcal{C},\text{ then }\mathcal{B}\supseteq\mathcal{A}

这样的 A(C)\mathcal{A}(\mathcal{C}) 显然是存在的，因为我们可以取所有包含 C\mathcal{C} 的 algebra 的交（一定有包含 C\mathcal{C} 的 algebra，因为 P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) 就是一个）就是 A(C)\mathcal{A}(\mathcal{C})。

这样的定义显然可以扩展至 σ\sigma-algebra generated by the class C\mathcal{C}。

我们之后会介绍，由 semi-algebra generate 出的 algebra 是很简单的，它的每个元素会是这个 semi-algebra 的有限个元素的交。但是从 semi-algebra 生成出来的 σ\sigma-algebra 我们就不知道是啥样的了（没有显式解）。这也是将测度从 semi-algebra 扩展至尤其生成的 σ\sigma-algebra 的难点。

引理：S⊆P(Ω)\mathcal{S}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)，且 S\mathcal{S} 是 semi-algebra，如果 A(S)\mathcal{A}(\mathcal{S}) 是生成的 algebra，那么：

A∈A(S)⟺∃Ej,1≤j≤n,Ej∈S,A=∑j=1nEjA\in\mathcal{A}(\mathcal{S})\Longleftrightarrow\exists E_j,1\le j\le n,E_j\in\mathcal{S}, A=\sum_{j=1}^nE_j
  • ⇐\Leftarrow 是显然的，因为 algebra close on 补集和交集。

  • ⇒\Rightarrow：定义 B={∑j=1nFj∣Fj∈S}\mathcal{B}=\{\sum_{j=1}^nF_j|F_j\in\mathcal{S}\}，那么我们可以证明

    • B\mathcal{B} 是 algebra（这里做一些集合的运算就能得到了）
    • B⊇S\mathcal{B}\supseteq \mathcal{S}（显然）

    即 B⊇A(S)\mathcal{B}\supseteq \mathcal{A}(\mathcal{S})，也就证明了 ⇒\Rightarrow。

定义 C⊆P(Ω),∅∈C\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(\Omega),\varnothing\in\mathcal{C}，定义函数 μ:C→R+∪{+∞}\mu: \mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}，我们称 μ\mu additive，如果：

  • μ(∅)=0\mu(\varnothing)=0
  • E1,E2,...,En∈C,Ei∩Ej=∅E_1,E_2,...,E_n\in\mathcal{C}, E_i\cap E_j=\varnothing，且有 E=∑i=1nEiE=\sum_{i=1}^nE_i，则 μ(E)=∑i=1nμ(Ei)\mu(E)=\sum_{i=1}^n\mu(E_i)

例子：对于离散集合，定义 discrete measure：μ(A)=∑j≥1Pj1{xj∈A}\mu(A)=\sum_{j\ge1}P_j1\{x_j\in A\}，满足 additive。

定义 C⊆P(Ω),∅∈C\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(\Omega),\varnothing\in\mathcal{C}，定义函数 μ:C→R+∪{+∞}\mu: \mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}，我们称 μ\mu σ\sigma-additive，如果：

  • μ(∅)=0\mu(\varnothing)=0
  • Ej∈C,Ei∩Ej=∅E_j\in\mathcal{C}, E_i\cap E_j=\varnothing，且有 E=∑j≥1μ(Ej)∈CE=\sum_{j\ge1}\mu(E_j)\in\mathcal{C}，则 μ(E)=∑j≥1μ(Ej)\mu(E)=\sum_{j\ge1}\mu(E_j)

例子：C={(a,b]∣0≤a<b<1}\mathcal{C}=\{(a,b]|0\le a<b<1\}，定义：

μ((0,b])=+∞μ((a,b])=b−a\mu((0, b])=+\infty\\ \mu((a,b])=b-a

那么这个 μ\mu 是 additive 而不是 σ\sigma-additive 的（就是搞了个求极限的情况，可以用交集去逼近 0）。

Lecture 3 Set functions

定义：对于 μ:C→R+∪{+∞}\mu:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}，我们给出 2 种连续的定义：

  • 我们称 μ\mu continuous from below E∈CE\in\mathcal{C}，如果 ∀(En)n≥1,En∈C,En↑E\forall (E_n)_{n\ge1},E_n\in\mathcal{C},E_n\uparrow E（即，En⊆En+1,∪n≥1En=EE_n\subseteq E_{n+1},\cup_{n\ge1}E_n=E），那么 μ(En)→μ(E)\mu(E_n)\rightarrow \mu(E)；
  • 我们称 μ\mu continuous from above E∈CE\in\mathcal{C}，如果 ∀(En)n≥1,En∈C,En↓E\forall (E_n)_{n\ge1},E_n\in\mathcal{C},E_n\downarrow E（即，En⊇En+1,∩n≥1En=EE_n\supseteq E_{n+1},\cap_{n\ge1}E_n=E），并且 ∃n0,μ(En0)<∞\exists n_0,\mu(E_{n_0})<\infty，那么 μ(En)→μ(E)\mu(E_n)\rightarrow \mu(E)；

引理：A⊆P(Ω)\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(\Omega) 是一个 algebra，且 μ:A→R+∪{+∞}\mu:\mathcal{A}\rightarrow \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}，且 μ\mu additive，那么：

  1. μ\mu σ\sigma-additive ⇒\Rightarrow μ\mu continuous at ∀E∈A\forall E\in\mathcal{A}（这里指即 from below，又 from above）
  2. μ\mu continous from below（at all set）⇒\Rightarrow μ\mu σ\sigma-additive
  3. μ\mu continous from above at ∅\varnothing，且 μ\mu finite ⇒\Rightarrow μ\mu σ\sigma-additive

  4. 1 的证明比较简单。对于 from below 的情况，我们可以令定义中的 En+1=En∪(En+1∣En)E_{n+1}=E_{n}\cup (E_{n+1}|E_n)；

    对于 from above 的情况，我们可以取定义中的 n0n_0，并发现 En0∣EnE_{n_0}|E_{n} 是 ↑\uparrow 的，就可以用 σ\sigma-additive 的性质了。

  5. 证明 2，我们假设 E=∑k≥1EkE=\sum_{k\ge1}E_k，可以取 Fn=∑k=1nEkF_n=\sum_{k=1}^nE_k，那么我们由连续性，因为 Fn↑EF_n\uparrow E，有 μ(Fn)→μ(E)\mu(F_n)\rightarrow \mu(E)，配合 additive，就可以证明了。
  6. 证明 3 则是反过来，令 Fn=E∣∑k=1nEkF_n=E|\sum_{k=1}^nE_k，那么 Fn↓∅F_n\downarrow \varnothing，由连续性，μ(Fn)→0\mu(F_n)\rightarrow0，配合 additive 就可以证明了。

注意：

  • 3 的 finite 条件是必须的，不然 lecture 2 最后的那个例子也是满足 3 的（为啥满足 continuous from above at ∅\varnothing 老师说之后会讲，我不太明白...）
  • 我们经常需要证明 μ\mu 是 σ\sigma-additive 的，所以 2,3 比较实用
  • （个人理解）需要记住 σ\sigma 属性和连续性相关

定理：假设在 semi-algebra S⊆P(Ω)\mathcal{S}\subseteq\mathcal{P}(\Omega) 上有一个 additive 的 μ\mu，那么存在一个在 algebra A(S)\mathcal{A}(\mathcal{S}) 上的 ν\nu，满足：

  1. 是 additive 的
  2. ν(A)=μ(A),∀A∈S\nu(A)=\mu(A),\forall A\in\mathcal{S}，即是 μ\mu 的 extension
  3. 对于都在 A(S)\mathcal{A}(\mathcal{S}) 上的 additive 的 μ1,μ2\mu_1,\mu_2，如果 μ1(A)=μ2(A),∀A∈S\mu_1(A)=\mu_2(A),\forall A\in\mathcal{S}，那么 μ1(E)=μ2(E),∀E∈A(S)\mu_1(E)=\mu_2(E),\forall E\in\mathcal{A}(\mathcal{S})，即是唯一的

  4. 我们要使用 A(S)\mathcal{A}(\mathcal{S}) 的特点，即 A∈A(S)⇒A=∑j=1nEj,Ej∈SA\in\mathcal{A}(\mathcal{S})\Rightarrow A=\sum_{j=1}^nE_j,E_j\in\mathcal{S}。那么一个很显然的定义是：

    ν(A)=∑j=1nμ(Ej)\nu(A)=\sum_{j=1}^n\mu(E_j)

    我们需要首先证明这个定义是 well defined，即对于不同的 AA 的拆分，都有相同的结果，这个可以通过对 2 中拆分做交集来得到。

    由这个定义，由 μ\mu 是 additive 的，很显然 ν\nu 是 additive 的，同样 2 也是很显然的。对于 uniqueness 的证明，因为他们是 additive 的，自然加起来扩充至 alegbra 也是相等的。

定理：上面的定理，把 additive 换成 σ\sigma-additive 也是成立的。

  • 仍然沿用之前的 ν\nu 的定义，我们要证明 ν\nu 是 σ\sigma-additive 的，即 ν(A)=∑k≥1ν(Ak)\nu(A)=\sum_{k\ge1}\nu(A_k)。我们可以把 A=∑j=1nEjA=\sum_{j=1}^nE_j 中的 EjE_j 变成 Ej∩AE_j\cap A 对应 Ej∩AkE_j\cap A_k，而 AkA_k 又可以进一步拆成 EjkE_{jk}，就能纳入 S\mathcal{S} 了，可以用 μ\mu 的 σ\sigma-additive 的性质证明。

    extension 和 uniqueness 的证明和之前没有区别。

注意：这相当于把 σ\sigma-additive 从 semi-algebra 推广到了 algebra。

Lecture 4 Caratheodory theorem

这节课主要是证明我们可以把 A(S)\mathcal{A}(\mathcal{S}) 上 σ\sigma-additive 的 ν\nu 扩展到 F(A)\mathcal{F}(\mathcal{A}) 上的 π\pi，使得 π\pi 也是 σ\sigma-additive 的，并且是唯一的。

证明的思路是：

  1. 证明在 P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) 上存在一个 π∗\pi^*，它是一个 outer measure（之后会定义）
  2. 引入 M⊆P(Ω)\mathcal{M}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)，我们会证明 M\mathcal{M} 是 σ\sigma-algebra，它包含 algebra A\mathcal{A}（也就包含 F(A)\mathcal{F}(\mathcal{A})）
  3. 我们考虑只在 M\mathcal{M} 上的 π∗∣M\pi^*|_{\mathcal{M}}，它是 σ\sigma-additive 的，以及 π∗∣A=ν\pi^*|_{\mathcal{A}}=\nu
  4. 证明在特定条件下 π\pi 是唯一的

定义：

π∗(A)=inf⁡{Ei}∑i≥1ν(Ei)\pi^*(A)=\inf_{\{E_i\}}\sum_{i\ge1}\nu(E_i)

其中 {Ei,i≥1}\{E_i, i\ge1\} 满足 Ei∈AE_i\in\mathcal{A}，且 A⊆∪EiA\subseteq\cup E_i（covering）。（注意到，因为 Ω∈A\Omega\in\mathcal{A}，所以一定是存在这样的 covering {Ei,i≥1}\{E_i, i\ge1\} 的。）

定义：μ:C→R∪{+∞}\mu:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\} 为 outer measure，即：

  • μ(∅)=0\mu(\varnothing)=0
  • E⊆F, E,F∈C⇒μ(E)≤μ(F)E\subseteq F,\ E,F\in\mathcal{C}\Rightarrow\mu(E)\le\mu(F)
  • E,Ei∈C,E=∪iEi⇒μ(E)≤∑iμ(Ei)E,E_i\in\mathcal{C},E=\cup_i E_i\Rightarrow\mu(E)\le\sum_i\mu(E_i)

下面我们证明上面定义的 π∗\pi^* 是 outer measure。

  • π∗(∅)=0\pi^*(\varnothing)=0 比较显然。第二条，FF 的 covering 肯定是 EE 的 covering。第三条，也是可以从 covering 的角度来看，比较显然。

定义：measurable set M⊆P(Ω)\mathcal{M}\subseteq\mathcal{P}(\Omega) 满足

M={A∣∀E∈Ω,π∗(E)=π∗(E∩A)+π∗(E∩Ac)}\mathcal{M}=\{A|\forall E\in\Omega,\pi^*(E)=\pi^*(E\cap A)+\pi^*(E\cap A^c) \}

我们称 M\mathcal{M} 的元素为 measurable 的。

我们接下来证明

  • M⊇A\mathcal{M}\supseteq \mathcal{A}
  • M\mathcal{M} 是 σ\sigma-algebra

对于第一条，因为 E⊆(E∩A)∪(E∩Ac)E\subseteq(E\cap A)\cup(E\cap A^c)，所以 π∗(E)≤π∗(E∩A)+π∗(E∩Ac)\pi^*(E)\le\pi^*(E\cap A) + \pi^*(E\cap A^c)，那么我们只需要证明 A∈AA\in\mathcal{A} 满足反向的 π∗(E)≥π∗(E∩A)+π∗(E∩Ac)\pi^*(E)\ge\pi^*(E\cap A) + \pi^*(E\cap A^c) 就行了。

这里我们不妨假设 π∗(E)\pi^*(E) 是有限的。那么对于任意 ε\varepsilon，我们可以选一个 EE 的 covering，满足 ∑j≥1π∗(Ej)≤π∗(E)+ε\sum_{j\ge1}\pi^*(E_j)\le\pi^*(E)+\varepsilon，把这个 covering 的每个元素分别和 AA 与 AcA^c 取交，由于 Ej,A∈AE_j,A\in\mathcal{A}，就有 π∗(Ej)=π∗(Ej∩A)+π∗(Ej∩Ac)\pi^*(E_j)=\pi^*(E_j\cap A)+\pi^*(E_j\cap A^c) 就能证明能有 π∗(E∩A)+π∗(E∩Ac)≤π∗(E)+ε\pi^*(E\cap A) + \pi^*(E\cap A^c)\le\pi^*(E) + \varepsilon。

为了证明第二条，我们需要依次证明 M\mathcal{M} 符合 σ\sigma-algebra 的 3 个特性：

  1. Ω∈M\Omega\in\mathcal{M} 这是因为 π∗(E)=π∗(E∪Ω)+π∗(E∪Ωc)\pi^*(E)=\pi^*(E\cup\Omega)+\pi^*(E\cup\Omega^c)
  2. A∈M⇒Ac∈MA\in\mathcal{M}\Rightarrow A^c\in\mathcal{M}，这是显然的

  3. Aj∈M⇒∪jAj∈MA_j\in\mathcal{M}\Rightarrow \cup_j A_j\in\mathcal{M}

    这里我们需要先证明对于有限的 AjA_j 这是成立的，也就是证明 A∪B∈MA\cup B\in\mathcal{M}，这个可以通过一些集合操作 + covering 定义来做。

    那么对于可数个 AjA_j 的情况。因为

    π∗(E)=π∗(E∩∪j=1nAj)+π∗(E∣∪j=1nAj)≥π∗(E∩∪j=1nAj)+π∗(E∣A)=π∗(E∩∑j=1nFj)+π∗(E∣A)\begin{aligned} \pi^*(E)&=\pi^*(E\cap\cup_{j=1}^n A_j)+\pi^*(E|\cup_{j=1}^n A_j)\\ &\ge \pi^*(E\cap\cup_{j=1}^n A_j)+\pi^*(E|A)\\ &=\pi^*(E\cap\sum_{j=1}^n F_j)+\pi^*(E|A) \end{aligned}

    其中 Fj=Aj∣∪k=1j−1AkF_j=A_j|\cup_{k=1}^{j-1}A_k，FjF_j 的一个特点是两两 disjoint。可以用归纳法证明（主要是用 Fj∈MF_j\in\mathcal{M}）：

    π∗(E∩∑j=1nFj)=∑j=1nπ∗(E∩Fj)\pi^*(E\cap\sum_{j=1}^n F_j)=\sum_{j=1}^n\pi^*(E\cap F_j)

    所以我们有：

    π∗(E)≥∑j≥1π∗(E∩Fj)+π∗(E∣A)（这里求了极限）≥π∗(E∩∪jFj)+π∗(E∣A)（这里用了 outer measure 的性质）=π∗(E∩A)+π∗(E∣A)\begin{aligned} \pi^*(E)&\ge\sum_{j\ge1}\pi^*(E\cap F_j)+\pi^*(E|A)\quad\text{（这里求了极限）}\\ &\ge\pi^*(E\cap \cup_jF_j)+\pi^*(E|A)\quad\text{（这里用了 outer measure 的性质）}\\ &=\pi^*(E\cap A)+\pi^*(E|A) \end{aligned}

    所以我们会有 π∗(E)=π∗(E∩A)+π∗(E∩Ac)\pi^*(E)=\pi^*(E\cap A)+\pi^*(E\cap A^c) ，证毕。

下一步我们证明 π∗∣M\pi^*|_\mathcal{M} 是 σ\sigma-additive 的，以及 π∗(A)=ν(A),∀A∈A\pi^*(A)=\nu(A),\forall A\in\mathcal{A}。

很显然 ν(A)≥π∗(A)\nu(A)\ge\pi^*(A)，因为 AA 自己就是一个 covering。反过来，我们还可以把任意 covering 用上面的 FjF_j 表示，并拆成 Fj∩AF_j\cap A 和 Fj∪AcF_j\cup A^c，就能证明了。所以 π∗(A)=ν(A)\pi^*(A)=\nu(A)。

证明 σ\sigma-additive，注意由上面归纳法证明的那个结论，有 π∗(∑jAj)≥π∗(∑j=1nAj)=∑j=1nπ∗(Aj)\pi^*(\sum_jA_j)\ge\pi^*(\sum_{j=1}^nA_j)=\sum_{j=1}^n\pi^*(A_j)，所以再加上反向的 π∗(∑jAj)≤∑jπ∗(Aj)\pi^*(\sum_jA_j)\le\sum_j\pi^*(A_j)，就证明了 π∗∣M\pi^*|_\mathcal{M} 是 σ\sigma-additive 的。

最后我们来证明唯一性。

具体来说，假设我们在 F(A)\mathcal{F}(\mathcal{A}) 上有 μ1,μ2\mu_1,\mu_2，他们都是 σ\sigma-additive 的，且有 μ1∣A=μ2∣A\mu_1|_\mathcal{A}=\mu_2|_\mathcal{A}，并且 Ω\Omega 是 μ1\mu_1 σ\sigma-finite 的（如果 ∃Ej↑Ω\exists E_j\uparrow\Omega，而且 μ1(Ej)<∞\mu_1(E_j)<\infty）并且对于唯一性，我们还需要 σ\sigma-finite 中用的 Ej∈AE_j\in\mathcal{A}，那么 μ1=μ2\mu_1=\mu_2。

这个证明需要 monotone class，所以我们先来定义一下。

定义：G⊆P(Ω)\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)，我们称 G\mathcal{G} 为 monotone class，如果：

  • Aj∈G,(j≥1),Aj⊆Aj+1⟹A=∪j≥1Aj∈GA_j\in\mathcal{G},(j\ge1),A_j\subseteq A_{j+1}\Longrightarrow A=\cup_{j\ge1}A_j\in\mathcal{G}
  • Bj∈G,(j≥1),Bj+1⊆Bj⟹B=∩j≥1Bj∈GB_j\in\mathcal{G},(j\ge1),B_{j+1}\subseteq B_{j}\Longrightarrow B=\cap_{j\ge1}B_j\in\mathcal{G}

断言：∩α∈IGα\cap_{\alpha\in I}\mathcal{G}_\alpha 也是 monotone class。

我们可以对应的有 G(C)\mathcal{G}(C) 是 monotone class generated by CC。

引理：A⊆P(Ω)\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\Omega) 是 algebra，由他生成的 monotone class M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 满足 M(A)=F(A)\mathcal{M}(\mathcal{A})=\mathcal{F}(\mathcal{A})。

  • 注意，这个引理很重要，证明会放到下一讲

回来证明唯一性。那么根据 Ω\Omega 的 σ\sigma-finite 性，我们取那一系列 {Ej}\{E_j\}，对于任意一个 EjE_j，可以构造：

Bj={E∈F(A)∣μ1(E∩Ej)=μ2(E∩Ej)}\mathcal{B}_j=\{E\in\mathcal{F}(\mathcal{A})|\mu_1(E\cap E_j)=\mu_2(E\cap E_j)\}

我们接下来证明 Bj=F(A)\mathcal{B}_j=\mathcal{F}(\mathcal{A})，也就是只需证明 Bj⊇F(A)\mathcal{B}_j\supseteq\mathcal{F}(\mathcal{A})，那么这分 2 步：

  • Bj⊇A\mathcal{B}_j\supseteq \mathcal{A}。这是显然的，因为 A\mathcal{A} 的元素显然满足 Bj\mathcal{B}_j 的条件；

  • Bj\mathcal{B}_j 是 monotone class。证明这点，我们需要分别证明 monotone class 的 2 个要求。

    • 对于 Ai∈Bj,Ai↑,A=∪i≥1AiA_i\in\mathcal{B}_j, A_i\uparrow,A=\cup_{i\ge1}A_i，因为 μ1,μ2\mu_1,\mu_2 为 σ\sigma-additive 的，所以 continuous from below，就有 μ1(Ai∩Ej)=μ2(Ai∩Ej)→μ1(A∩Ej)=μ2(A∩Ej)\mu_1(A_i\cap E_j)=\mu_2(A_i\cap E_j)\rightarrow \mu_1(A\cap E_j)=\mu_2(A\cap E_j)，即 A∈BjA\in\mathcal{B}_j
    • 对于 Bi∈Bj,Bi↓,B=∩i≥1BiB_i\in\mathcal{B}_j,B_i\downarrow,B=\cap_{i\ge1}B_i，因为 μ1,μ2\mu_1,\mu_2 为 σ\sigma-additive 的，所以 continuous from above，加上 Ω\Omega 是 σ\sigma-finite 的，即我们取了 μ1(Ej)<∞\mu_1(E_j)<\infty，所以有 μ1(Bi∩Ej)=μ2(Bi∩Ej)→μ1(B∩Ej)=μ2(B∩Ej)\mu_1(B_i\cap E_j)=\mu_2(B_i\cap E_j)\rightarrow \mu_1(B\cap E_j)=\mu_2(B\cap E_j)，即 B∈BjB\in\mathcal{B}_j

    所以 Bj\mathcal{B}_j 是 monotone class，因此 Bj⊇M(A)=F(A)\mathcal{B_j}\supseteq \mathcal{M}(\mathcal{A})=\mathcal{F}(\mathcal{A})。

进一步，因为 Bj=F(A)\mathcal{B}_j=\mathcal{F}(\mathcal{A})，所以 μ1(E∩Ej)=μ2(E∩Ej)\mu_1(E\cap E_j)=\mu_2(E\cap E_j)，利用 continous from below，μ1(E∩Ej)=μ2(E∩Ej)→μ1(E∩Ω)=μ2(E∩Ω)\mu_1(E\cap E_j)=\mu_2(E\cap E_j)\rightarrow \mu_1(E\cap \Omega)=\mu_2(E\cap \Omega)，所以 μ1(E)=μ2(E)\mu_1(E)=\mu_2(E)。证明了唯一性。

这里引入 monotone class 极大地化简了证明。

另外，对于 measurable M\mathcal{M}，我们会证明，在特定情况下，M⊃F(A)\mathcal{M}\supset\mathcal{F}(\mathcal{A})。

Lecture 5 Monotone classes

重新写一下 monotone classes 的定义：

定义：M⊆P(Ω)\mathcal{M}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)，我们称 M\mathcal{M} 为 monotone class，如果：

  • Aj∈M,(j≥1),Aj⊆Aj+1⟹A=∪j≥1Aj∈MA_j\in\mathcal{M},(j\ge1),A_j\subseteq A_{j+1}\Longrightarrow A=\cup_{j\ge1}A_j\in\mathcal{M}
  • Bj∈M,(j≥1),Bj+1⊆Bj⟹B=∩j≥1Bj∈MB_j\in\mathcal{M},(j\ge1),B_{j+1}\subseteq B_{j}\Longrightarrow B=\cap_{j\ge1}B_j\in\mathcal{M}

有这样的几个比较显然的结论：

  • F\mathcal{F} 是 σ\sigma-field（σ\sigma-algebra 的别称）⇒\Rightarrow F\mathcal{F} 是 monotone class
  • Mα⊆P(Ω),α∈I\mathcal{M}_{\alpha}\subseteq\mathcal{P}(\Omega), \alpha\in I，Mα\mathcal{M}_\alpha 是 monotone class ⇒\Rightarrow ∩α∈IMα\cap_{\alpha\in I}\mathcal{M}_\alpha 是 monotone class

进一步，我们可以引入 M(C)=∩αMα\mathcal{M}(\mathcal{C})=\cap_{\alpha}\mathcal{M}_\alpha，其中 C⊆Mα\mathcal{C}\subseteq\mathcal{M}_\alpha，为 monotone class generated by C\mathcal{C}。

那么我们 主要来证明上一节用到的定理：

定理：A⊆P(Ω)\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\Omega) 是 algebra，则 F(A)=M(A)\mathcal{F}(\mathcal{A})= \mathcal{M}(\mathcal{A})

  • 由 M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 的定义，加上 F\mathcal{F} 是 monotone class，显然 F(A)⊇M(A)\mathcal{F}(\mathcal{A})\supseteq\mathcal{M}(\mathcal{A})

  • 那么反过来，我们只需要证明 M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 是 σ\sigma-algebra 即可

    • 我们先要去证明 M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 是 algebra。

    对于 E∈M(A)E\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，构造 G(E)={F∈M(A)∣ E∣F,E∩F,F∣E∈M(A)}\mathcal{G}(E)=\{F\in\mathcal{M}(\mathcal{A})|\ E|F,E\cap F,F|E\in\mathcal{M}(\mathcal{A})\}。

    我们先要去证明对于 E∈AE\in\mathcal{A}，G(E)\mathcal{G}(E) 包含 A\mathcal{A}，且是 monotone class，所以 G(E)⊇M(A)\mathcal{G}(E)\supseteq\mathcal{M}(\mathcal{A})。

    • G(E)\mathcal{G}(E) 包含 A\mathcal{A} 是显然的，因为 G(E)\mathcal{G}(E) 中的那 3 项都会在 A\mathcal{A} 中。

    • Hk↑H,Hk∈G(E)H_k\uparrow H, H_k\in\mathcal{G}(E)，那么：

      E∣Hk∈M(A),E∣Hk↓E∣HE|H_k\in\mathcal{M}(\mathcal{A}), E|H_k\downarrow E|H，由于 monotone class 的性质，E∣H∈M(A)E|H\in\mathcal{M}(\mathcal{A})

      E∩Hk∈M(A),E∩Hk↑E∩HE\cap H_k\in\mathcal{M}(\mathcal{A}), E\cap H_k\uparrow E\cap H，由于 monotone class 的性质，E∩H∈M(A)E\cap H\in\mathcal{M}(\mathcal{A})

      Hk∣E∈M(A),Hk∣E↑H∣EH_k|E\in\mathcal{M}(\mathcal{A}), H_k|E\uparrow H|E，由于 monotone class 的性质，H∣E∈M(A)H|E\in\mathcal{M}(\mathcal{A})

      所以 H∈G(E)H\in\mathcal{G}(E)。

    • 反过来（Hk↓HH_k\downarrow H）也是一样，所以 G(E)\mathcal{G}(E) 是 monotone class

    因此对于 E∈AE\in\mathcal{A}， G(E)⊇M(A)\mathcal{G}(E)\supseteq \mathcal{M}(\mathcal{A})。

    我们接下来证明，对于 E∈M(A)E\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，G(E)⊇M(A)\mathcal{G}(E)\supseteq \mathcal{M}(\mathcal{A})。

    • 证明 G(E)\mathcal{G}(E) 是 monotone class 的方式和前面相同
    • 对于 H∈AH\in\mathcal{A}，我们需要证明 E∣H,E∩H,H∣E∈M(A)E|H,E\cap H,H|E\in\mathcal{M}(\mathcal{A})。这里因为前面证明了 G(H)⊇M(A)\mathcal{G}(H)\supseteq\mathcal{M}(\mathcal{A})，所以 E∈G(H)E\in\mathcal{G}(H)，所以也就证明了上面的这 3 个。所以我们证明了 G(E)⊇A\mathcal{G}(E)\supseteq \mathcal{A}

    所以对于 E∈M(A)E\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，G(E)⊇M(A)\mathcal{G}(E)\supseteq \mathcal{M}(\mathcal{A})。

    回来证明 M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 是 algebra。

    • Ω∈M(A)\Omega\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，这个显然
    • E∈M(A)E\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，由于 Ω∈M(A)\Omega\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，有 E∈G(Ω)E\in\mathcal{G}(\Omega)，所以 Ec∈M(A)E^c\in\mathcal{M}(\mathcal{A})
    • E,F∈M(A)E,F\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，因为 F∈G(Ω)F\in\mathcal{G}(\Omega)，所以 E∩F∈M(A)E\cap F\in\mathcal{M}(\mathcal{A})

    所以 M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 是 algebra。

    • 我们接下来证明 M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 是 algebra。

    考虑 Aj∈M(A)A_j\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，由于 M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 是 algebra，所以 ∪j=1nAj∈M(A)\cup_{j=1}^nA_j\in\mathcal{M}(\mathcal{A})，而 ∪j=1nAj↑A\cup_{j=1}^nA_j\uparrow A，所以 A∈MA\in\mathcal{M}，所以 M(A)\mathcal{M}(\mathcal{A}) 是 algebra。

    由此，我们证明了 M(A)=F(A)\mathcal{M}(\mathcal{A})=\mathcal{F}(\mathcal{A})。

Lecture 6 The Lebesgue measure

考虑如下的 semi-algebra：

S={∅,R,(a,b],(a,∞),(−∞,b]}\mathcal{S}=\{\varnothing, \mathbb{R},(a,b],(a,\infty),(-\infty,b]\}

我们定义 μ:S→R∪{+∞}\mu: \mathcal{S}\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}：

μ(∅)=0,μ((a,b])=b−a,μ((−∞,b])=+∞μ(R)=+∞,μ((a,∞))=+∞\mu(\varnothing)=0,\quad\mu((a,b])=b-a,\quad\mu((-\infty,b])=+\infty\\ \mu(\mathbb{R})=+\infty,\quad\mu((a,\infty))=+\infty

我们接下来证明 μ\mu 是 σ\sigma-additive 的，即：

A∈S,Aj∈S,Ai∩Aj=∅,A=∑j≥1Aj⟹μ(A)=∑j≥1μ(Aj)A\in\mathcal{S},A_j\in\mathcal{S},A_i\cap A_j=\varnothing,A=\sum_{j\ge1}A_j\Longrightarrow \mu(A)=\sum_{j\ge1}\mu(A_j)

这里我们直接去证明 μ\mu 扩展至 A(S)\mathcal{A}(\mathcal{S}) 的 ν\nu 是 σ\sigma-additive 的（显然他们都是 additive 的，所以可以进行这样的唯一扩展），因为像 (a,b]∪(c,d](a,b]\cup(c,d] 这样的集合在 S\mathcal{S} 上是没有定义的，而在证明中我们需要这样的集合。

  • 我们有 A⊇∑j=1nAjA\supseteq\sum_{j=1}^nA_j，所以 ν(A)≥ν(∑j=1nAj)=∑j=1nν(Aj)\nu(A)\ge\nu(\sum_{j=1}^nA_j)=\sum_{j=1}^n\nu(A_j)，取极限，有 ν(A)≥∑j≥1ν(Aj)\nu(A)\ge\sum_{j\ge1}\nu(A_j)。
  • 我们不妨先假设 A=(a,b]A=(a,b]，那么 Aj=(aj,bj]A_j=(a_j,b_j]，所以 ν(A)=b−a,ν(Aj)=bj−aj\nu(A)=b-a,\nu(A_j)=b_j-a_j，显然，(a,b]=∑j≥1(aj,bj](a,b]=\sum_{j\ge1}(a_j,b_j]，所以可以证明 b−a−ε≤∑j=1n(bj−aj)+εb-a-\varepsilon\le\sum_{j=1}^n(b_j-a_j)+\varepsilon。
  • 那么对于任意的 A∈SA\in\mathcal{S}，我们取 En=(−n,n],En↑R,ν(En)=2n<∞E_n=(-n,n],E_n\uparrow\mathbb{R},\nu(E_n)=2n<\infty，那么 A∩En∈SA\cap E_n\in\mathcal{S} 且是有限的，所以由上面一条 ν(A∩En)=∑j≥1ν(Aj∩En)≤∑j≥1ν(Aj)\nu(A\cap E_n)=\sum_{j\ge1}\nu(A_j\cap E_n)\le\sum_{j\ge1}\nu(A_j)。我们还有 ν(A)=lim⁡n→∞ν(A∩En)\nu(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}\nu(A\cap E_n)，所以 ν(A)≤∑j≥1ν(Aj)\nu(A)\le\sum_{j\ge1}\nu(A_j)。

所以 ν(A)=∑j≥1ν(Aj)\nu(A)=\sum_{j\ge1}\nu(A_j)，所以 ν\nu 在 S\mathcal{S} 上 σ\sigma-additive，所以也就在 A(S)\mathcal{A}(\mathcal{S}) 上 σ\sigma-additive。再由 Caratheodory theorem，我们可以进一步扩展至 F(A)\mathcal{F}(\mathcal{A})。并且，考虑到这个 extension 是 σ\sigma-additive 的，在加上我们可以用 finite 的 En=(−n,n]E_n=(-n,n] 构建出 R\mathbb{R}，也就是 R\mathbb{R} 是 σ\sigma-finite 的，所以扩展是唯一的。

Lecture 7 The Lebesgue measure, II

我们用另一种方法证明 lebesgue measure 是 σ\sigma-additive 的。这种方法是基于实数的某些拓扑性质得到的。

先跳过吧~

Lecture 8 Complete measures

定义：σ\sigma-algebra F⊆P(Ω)\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)，μ:F→R+∪{+∞}\mu:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\} 为 σ\sigma-additive 的（我们称之为 measure），我们称 (F,μ)(\mathcal{F},\mu) 为 complete 的，如果

∀A∈F,μ(A)=0,E⊆A⟹E∈F\forall A\in\mathcal{F},\mu(A)=0,E\subseteq A\Longrightarrow E\in\mathcal{F}

并称这样的 EE 为 negligible set。

其实定义里没用 F\mathcal{F} 是 σ\sigma-algebra，不过我们一般都会在 σ\sigma-algebra 的情况下用。

我们下面考虑去由 F\mathcal{F} 扩展至 Fˉ\bar{\mathcal{F}}，并由μ\mu 扩展至 μˉ\bar{\mu}，使得：

  • μˉ∣F=μ\bar{\mu}|_{\mathcal{F}}=\mu
  • (μˉ,Fˉ)(\bar{\mu},\bar{\mathcal{F}}) 是 complete 的
  • 这样的扩展是 unique 的

我们定义：

Fˉ={A∪N∣A∈F,N⊆E∈F,μ(E)=0}\bar{\mathcal{F}}=\{A\cup N|A\in\mathcal{F},N\subseteq E\in\mathcal{F},\mu(E)=0\}

我们来证明 Fˉ\bar{\mathcal{F}} 是 σ\sigma-algebra。

  1. Ω∈Fˉ\Omega\in\bar{\mathcal{F}}，因为 Ω=Ω∪∅\Omega=\Omega\cup\varnothing
  2. A∈Fˉ⇒A=E∪N,N⊆H,μ(H)=0⇒Ac=(E∪H)c∪(H∣N)A\in\bar{\mathcal{F}}\Rightarrow A=E\cup N,N\subseteq H,\mu(H)=0\Rightarrow A^c=(E\cup H)^c\cup(H|N)，因为 μ(H∣N)=0\mu(H|N)=0，所以 Ac∈FˉA^c\in\bar{\mathcal{F}}
  3. (Aj)j≥1,Aj∈Fˉ⇒∪j≥1Aj=∪j≥1(Ej∪Hj)=∪j≥1Ej∪∪j≥1Hj∈Fˉ(A_j)_{j\ge1},A_j\in\bar{\mathcal{F}}\Rightarrow \cup_{j\ge1}A_j=\cup_{j\ge1}(E_j\cup H_j)=\cup_{j\ge1}E_j\cup\cup_{j\ge1}H_j\in\bar{\mathcal{F}}

进一步，有 μ(A)≤μˉ(A∪N)≤μ(A)+μ(E)=μ(A)\mu(A)\le\bar{\mu}(A\cup N)\le\mu(A)+\mu(E)=\mu(A)，所以我们定义：

μˉ(A∪N)=μ(A)\bar{\mu}(A\cup N)=\mu(A)

我们可以证明这样的 μˉ\bar{\mu} 定义是 well defined。这个证明感觉比较 trival，就不记了（大致是证明 μ(A)≤μ(B),μ(B)≤μ(A)\mu(A)\le \mu(B),\mu(B)\le\mu(A)）。

μˉ∣F=μ\bar{\mu}|_{\mathcal{F}}=\mu 是显然的。

我们接下来证明 μˉ\bar{\mu} 是 σ\sigma-additive 的。也就是考虑 Aj∈Fˉ,Ai∩Aj=∅,Aj=Ej∪Nj,Nj⊆HjA_j\in\bar{\mathcal{F}},A_i\cap A_j=\varnothing,A_j=E_j\cup N_j,N_j\subseteq H_j。那么 A=∑j≥1Ej∪∑j≥1NjA=\sum_{j\ge1}E_j\cup\sum_{j\ge1}N_j，用 μ\mu 的 σ\sigma-additive，可以证明 μˉ\bar{\mu} 是 σ\sigma-additive 的，或者说 μˉ\bar{\mu} 是 measure。

最后我们来证明 (μˉ,Fˉ)(\bar{\mu},\bar{\mathcal{F}}) 是 complete 的。

由 complete 的定义，∀μˉ(A)=0,A∈Fˉ\forall \bar{\mu}(A)=0,A\in\bar{\mathcal{F}}，也就是 A=B∪N,N⊆H∈F,μ(H)=0A=B\cup N,N\subseteq H\in\mathcal{F},\mu(H)=0，那么 E⊆A⊆B∪HE\subseteq A\subseteq B\cup H，而 B∪H∈FB\cup H\in\mathcal{F}，所以 μ(B∪H)≤μ(B)+μ(H)=μ(B)\mu(B\cup H)\le \mu(B) + \mu(H)=\mu(B)。再因为 μˉ(A)=0\bar{\mu}(A)=0，所以 μ(B)=0\mu(B)=0 即 μ(B∪H)=0\mu(B\cup H)=0。所以我们可以取 E=∅∪EE=\varnothing\cup E，得到了 E∈FˉE\in\bar{\mathcal{F}}，也就证明了完备性。

最后来看唯一性。也就是对于 μ:F→R+∪{+∞}\mu:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}，我们如上定义 Fˉ\bar{\mathcal{F}}，或者写成 Fˉμ\bar{\mathcal{F}}_\mu，那么如果有另外一个 measure ν:Fˉμ→R+∪{+∞}\nu: \bar{\mathcal{F}}_\mu\rightarrow \mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}，如果对于 ∀A∈F,ν(A)=μ(A)\forall A\in\mathcal{F},\nu(A)=\mu(A)，那么 ∀A∈Fˉ,ν(A)=μˉ(A)\forall A\in\bar{\mathcal{F}},\nu(A)=\bar{\mu}(A)。

  • 设 B∈Fˉμ,B=E∪N,N⊆HB\in\bar{\mathcal{F}}_\mu,B=E\cup N,N\subseteq H，那么

    μˉ(B)=μ(E)=ν(E)≤ν(B)\bar{\mu}(B)=\mu(E)=\nu(E)\le\nu(B)

    另一方面：

    ν(B)=ν(E∪N)≤ν(E∪H)≤ν(E)+ν(H)=μ(E)=μˉ(B)\nu(B)=\nu(E\cup N)\le \nu(E\cup H)\le \nu(E)+\nu(H)=\mu(E)=\bar{\mu}(B)

    所以 ν(B)=μˉ(B)\nu(B)=\bar{\mu}(B)。证明了唯一性。

所以我们从 F\mathcal{F} 扩充到了更大的 Fˉ\bar{\mathcal{F}}，这个 Fˉ\bar{\mathcal{F}} 仍然是 σ\sigma-algebra，我们还扩充 μ\mu 到了 μˉ\bar{\mu}，并发现 (μˉ,Fˉ)(\bar{\mu},\bar{\mathcal{F}}) 是 complete 的，以及 μˉ\bar{\mu} 这种扩展是唯一的。也就证明了我们可以 complete a measure。

断言：Caratheodory theorem 时候用的 (π∗,M)(\pi^*,\mathcal{M}) 是 complete 的。

也就是证明：

∀B∈M,π∗(B)=0,A⊆B⇒A∈M⇒∀E∈Ω,π∗(E)=π∗(E∩A)+π∗(E∩Ac)\begin{aligned} \forall B\in\mathcal{M},\pi^*(B)=0,A\subseteq B &\Rightarrow A\in\mathcal{M}\\ &\Rightarrow \forall E\in\Omega, \pi^*(E)=\pi^*(E\cap A)+\pi^*(E\cap A^c) \end{aligned}
  • 因为 π∗\pi^* 是 outer measure，所以 π∗(E)≤π∗(E∩A)+π∗(E∩Ac)\pi^*(E)\le\pi^*(E\cap A)+\pi^*(E\cap A^c)
  • 证明反向，π∗(E∩A)≤π∗(A)≤π∗(B)=0\pi^*(E\cap A)\le\pi^*(A)\le\pi^*(B)=0，而 π∗(E)≥π∗(E∩Ac)\pi^*(E)\ge\pi^*(E\cap A^c) 显然。

Lecture 9 Approximation Theorems

之前的几讲的结论中提到，如果有一个 outer measure π∗\pi^* 对应了某个定义在某个 σ\sigma-algebra 上的 measure μ\mu。如果 π∗(A)<∞,A∈M\pi^*(A)<\infty,A\in \mathcal{M}，我们可以找到某个 F∈F(A)F\in\mathcal{F}(\mathcal{A})，使得 A⊆F,π∗(A)=π∗(F)A\subseteq F,\pi^*(A)=\pi^*(F)。

  • 这个好像前面没讲过，我这里试着构造一下。貌似这里的 π∗\pi^* 指的是 Caratheodory theorem 里的那个，那么考虑这样的一个 covering 序列，{En,j}j≥1\{E_{n,j}\}_{j\ge1}，满足 En,j∈A,A⊆∪j≥1En,j,∑j≥1π∗(En,j)<π∗(A)+12nE_{n,j}\in\mathcal{A}, A\subseteq\cup_{j\ge1}E_{n,j}, \sum_{j\ge1}\pi^*(E_{n,j})<\pi^*(A)+\frac{1}{2^n}，并令 Fn=∪j≥1En,j∈F(A),F=∩n≥1FnF_n=\cup_{j\ge1}E_{n,j}\in\mathcal{F}(\mathcal{A}), F=\cap_{n\ge1}F_n，则 FF 满足条件。

也就是可以用 F\mathcal{F} 中的元素近似 M\mathcal{M} 中的元素。那么如果我们希望用 A\mathcal{A} 中的元素近似的话，会有如下的定理：

定理：A∈F(Ω)\mathcal{A}\in\mathcal{F}(\Omega) 是 algebra，F=F(A)\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathcal{A})，measure μ:F→R‾+\mu: \mathcal{F}\rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+，

∀A∈F,μ(A)<∞⇒∃E∈A,μ(E∣A)+μ(A∣E)<ε\forall A\in\mathcal{F},\mu(A)<\infty \Rightarrow \exists E\in\mathcal{A},\mu(E|A)+\mu(A|E)<\varepsilon

  • 我们仍然取 π∗(A)=inf⁡{Ai},Ai∈A,A⊆∪Ai∑i≥1ν(Ai)\pi^*(A)=\inf_{\{A_i\},A_i\in\mathcal{A},A\subseteq\cup A_i}\sum_{i\ge1} \nu(A_i)。这里的符号满足 μ∣F=π∗∣F,ν∣A=π∗∣A\mu|_{\mathcal{F}}=\pi^*|_{\mathcal{F}},\nu|_{\mathcal{A}}=\pi^*|_{\mathcal{A}}

    那么我们可以取 {Ai}\{A_i\} 满足 π∗(A)≤∑i≥1π∗(Ai)≤π∗(A)+ε\pi^*(A)\le\sum_{i\ge1}\pi^*(A_i)\le\pi^*(A)+\varepsilon，那么 ∃n0,∑i≥n0ν(Ai)≤ε\exists n_0,\sum_{i\ge n_0}\nu(A_i)\le\varepsilon。这时我们可以取 E=∪i=1n0AiE=\cup_{i=1}^{n_0}A_i。

如果 Ω\Omega 是 σ\sigma-finite（且和前面唯一性的要求一样，要求每个 Ei∈AE_i\in\mathcal{A}），那么我们可以把 μ\mu 扩展至 μˉ:Fˉ→R‾+\bar{\mu}:\bar{\mathcal{F}}\rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+，即 the completion of F\mathcal{F} with regard to μ\mu，上面的证明仍然可以复用，所以也有上面的这个 approximation theorem。这里 σ\sigma-finite 是为了唯一性。

下面，我们要开始使用 Ω\Omega 的拓扑性质了。

定义：Ω\Omega 是 topological space，B\mathcal{B}（Borel）集合为 the smallest σ\sigma-algebra which contains all open sets。μ:F→R+∪{+∞},F⊇B\mu:\mathcal{F}\rightarrow\mathbb{R}_+\cup\{+\infty\},\mathcal{F}\supseteq \mathcal{B}，我们称 μ\mu regular，如果：

∀A∈F,∀ε>0,∃F⊆A⊆G,F is close,G is open,μ(G∣F)≤ε\forall A\in\mathcal{F},\forall \varepsilon>0,\exists F\subseteq A\subseteq G, F \text{ is close},G\text{ is open},\mu(G|F)\le\varepsilon

注意，这里我们没有假设 μ(A)\mu(A) 是有限的。

断言：如果 μ\mu 是 regular 的，那么 F⊆Bˉμ\mathcal{F}\subseteq \bar{\mathcal{B}}_\mu。

  • ∀A∈F\forall A\in\mathcal{F}，我们可以取 Fn⊆A⊆Gn,μ(Gn∣Fn)≤1/nF_n\subseteq A\subseteq G_n,\mu(G_n|F_n)\le1/n，我们有 Fn,Gn∈BF_n, G_n\in\mathcal{B}（因为 close set 是 open set 的补集，所以 FnF_n 也在），那么我们有 F=∪n≥1Fn∈B,G=∩n≥1Gn∈BF=\cup_{n\ge1}F_n\in\mathcal{B},G=\cap_{n\ge1}G_n\in\mathcal{B}，且 F⊆A⊆G,μ(G∣F)=0F\subseteq A\subseteq G,\mu(G|F)=0。

    这样 A=F∪A∣FA=F\cup A|F，所以 F⊆Bˉμ\mathcal{F}\subseteq \bar{\mathcal{B}}_\mu。

定理：Lebesgue measure 是 regular 的。

  • 令 En=[−n,n],An=A∩EnE_n=[-n,n],A_n=A\cap E_n，那么 μ(An)<∞\mu(A_n)<\infty。

    由于 Lesbesgue measure 的扩展就是 π∗\pi^*，那么 ∃{Bn,k}k≥1,Bn,k∈A,Am⊆∪k≥1Bn,k,μ(An)≤∑k≥1μ)Bn,k≤μ(An)+ε/2n\exists \{B_{n,k}\}_{k\ge1}, B_{n,k}\in\mathcal{A},A_m\subseteq \cup_{k\ge1}B_{n,k}, \mu(A_n)\le\sum_{k\ge1}\mu)B_{n,k}\le \mu(A_n)+\varepsilon/2^n

    下一步我们要把 Bn.kB_{n.k} 转换成 open set。

    因为 Bn,k=∑j=1ln,kIn.k,j=∑j=1ln,k(an,k,j,bn,k,j]B_{n,k}=\sum_{j=1}^{l_{n,k}}I_{n.k,j}=\sum_{j=1}^{l_{n,k}} (a_{n,k,j},b_{n,k,j}]（这里我们用 AnA_n 是有限的来让每个区间都是有限的），然后我们可以把每个都扩成 (an,k,j,bn,k,j+δn,k,j)(a_{n,k,j},b_{n,k,j}+\delta_{n,k,j})，这样组成的 Gn,kG_{n,k} 仍然可以把差别控制得很小，另外因为是有限个，所以我们总是可以让新的这些开区间仍然是 disjoint 的。令 Gn=∪k≥1Gn,kG_n=\cup_{k\ge1}G_{n,k}，能有 An⊆Gn,μ(Gn)≤μ(An)+ε/2n−1A_n\subseteq G_n,\mu(G_n)\le\mu(A_n)+\varepsilon/2^{n-1}。

    再取 G=∪n≥1GnG=\cup_{n\ge1}G_n，所以：

    μ(G∣A)=μ(∪n≥1Gn∣∪n≥1An)≤μ(∪n≥1(Gn∣An))≤∑n≥1μ(Gn∣An)≤2ε\mu(G|A)=\mu(\cup_{n\ge1}G_n|\cup_{n\ge1}A_n)\le \mu(\cup_{n\ge1}(G_n|A_n))\le\sum_{n\ge1}\mu(G_n|A_n)\le 2\varepsilon

    对于 FF，则可以取满足上面条件的 μ(H∣Ac)≤ε\mu(H|A^c)\le \varepsilon，并取 F=HcF=H^c 即可。

断言：如果我们取 Fσ\mathcal{F}_{\sigma} 为 countable union of close sets，Gσ\mathcal{G}_\sigma 为 countable intersection of open sets，∀A∈F\forall A\in\mathcal{F}, which is Lebesgue measurable，∃R∈Fσ,S∈Gσ,R⊆A⊆S,μ(S∣R)=0\exists R\in\mathcal{F}_\sigma,S\in\mathcal{G}_{\sigma},R\subseteq A\subseteq S,\mu(S|R)=0。

  • 因为存在 Fn⊆A⊆Gn,μ(Gn∣Fn)≤ε/nF_n\subseteq A\subseteq G_n,\mu(G_n|F_n)\le\varepsilon/n，可以取 R=∪n≥1Fn,S=∩n≥1GnR=\cup_{n\ge1}F_n,S=\cap_{n\ge1}G_n。