测度论笔记（下）

看的是 IMPA 的 Measure Theory 课，教授是 Claudio Landim。

https://www.youtube.com/playlist?list=PLo4jXE-LdDTQq8ZyA8F8reSQHej3F6RFX

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Lecture 24 Hölder and Minkowski inequalities

定义：对于 $1 \le p < \infty$，定义 $\|f\|_p = (\int_\Omega |f|^p d\mu)^{1/p}$；对于 $p=\infty$，定义 $\|f\|_\infty = \text{ess sup}|f|$。

定理（Hölder）：如果 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$（其中 $1 < p < \infty$ 或者 $p=1, q=\infty$），并且 $\|f\|_p < \infty, \|g\|_q < \infty$，那么 $\int|fg|d\mu \le \|f\|_p\|g\|_q$。

Lecture 25 $L_p$ spaces

定义：对于 $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$，我们定义 $\|f\|_p = (\int_\Omega |f|^p d\mu)^{1/p}$，其中 $1 \le p < \infty$。

Lecture 29 Differentiability of functions of bounded variations

定义：函数 $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调上升的，即如果 $x \le y$ 则 $f(x) \le f(y)$。

定义：我们定义四个导数：

定义：如果函数 $f$ 是单调上升的，并且在点 $x$ 处可导，那么有 $(D^+f)(x) = (D_-f)(x) = (D^+f)(x) = (D_-f)(x)$，我们用 $f'$ 来表示这个值。

定理：如果函数 $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调上升的，那么令 $E = \{x\in\mathbb{R} \mid f \text{ is differentiable at } x\}$，则 $\lambda^*(E^c) = 0$。

注意：

• 这里并没有说 $E$ 是可测的（measurable）。
• $\lambda^*$ 是勒贝格外测度（outer lebesgue measure）。

证明思路：

• 我们希望证明 $E^c \subseteq \{x\in[a,b] \mid (D_+f)(x) < (D_-f)(x)\} \cup \{x\in[a,b] \mid (D_-f)(x) < (D_+f)(x)\} \cup \dots$，后面总共有 $2C^2_4$ 项，它们都满足 $\lambda^* = 0$。

• 我们只需要证明右边每一项都满足 $\lambda^* = \{x\in[a,b] \mid (D_-f)(x) < (D_+f)(x)\} = 0$。

• $$\begin{aligned} E_1 &= \{x\in[a,b] \mid (D_+f)(x) < (D_-f)(x)\}\\ &= \bigcup_{s,t\in\mathbb{Q},s<t}\{x\in[a,b] \mid (D_-f)(x) < s < t < (D_+f)(x)\} \end{aligned}$$

  所以我们只需要证明：

  $$\forall s,t\in\mathbb{Q},s<t, \lambda^*(\{x\in[a,b] \mid (D_-f)(x) < s < t < (D_+f)(x)\}) = 0$$

  任取 $\varepsilon>0$，因为 $E_{s,t} = \{x\in[a,b] \mid (D_-f)(x) < s < t < (D_+f)(x)\}$ 是有界的（bounded），所以我们可以找到开集 $G$ 满足：

  $$E_{s,t}\subseteq G, \lambda^*(G) \le \lambda^*(E_{s,t}) + \varepsilon$$

  接下来，我们要为 $E_{s,t}$ 构造一个 Vitali's covering。 这里先略过，后面还有很长的证明...

引理：如果 $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调上升的，那么 $f'$ 是勒贝格可测的（Lebesgue measurable），且 $f'\ge 0$，以及：

• 由上面的定理，有 $f_n = \frac{f(x+1/n)-f(x)}{1/n} \rightarrow f'$ a.e.。这证明了 $f'$ 是 lebesgue measurable 的，因为它是 measurable function 的极限 a.e.；也是因为这个极限里的每个函数都 $\ge 0$，所以 $f'\ge 0$。

  由 Fatou's lemma，我们还有

  $$\int_a^b f'd\lambda \le \liminf_{n\rightarrow\infty}\int_a^b f_n d\lambda$$

  我们可以扩展 $f(x)=f(b), x>b$，那么上面有：

例子：比如说 $f$ 在 $[a,c]$ 为 0，在 $(c,b)$ 为 1，那么就会取不等。

最后我们尝试把上面的结论扩展到 function with bounded variation。

定义：对于函数 $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ 和一个分割 $\pi=\{a=t_0<t_1<\dots<t_p=b\}$，我们作如下定义：

显然 $V_{f,\pi} = P_{f,\pi} + N_{f,\pi}$，以及 $f(b)-f(a) = P_{f,\pi}-N_{f,\pi}$。

定义：

定义：函数 $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ 被称为 of bounded variation，如果 $V_f < \infty$。

断言：bounded variation function $f$ 满足：

• 这里我们只证明第二个，因为第一个的证明是相同的。

  因为显然 $P_f < V_f, N_f < V_f$，所以 $P_f<\infty, N_f<\infty$。那么 $\exists\pi_1=\{a=t_0<t_1<\dots<t_p=b\}$，满足 $P_f-\varepsilon \le P_{f,\pi_1} \le P_f$。类似地我们可以找到 $\pi_2$ 满足 $N_f-\varepsilon \le N_{f,\pi_2} \le N_f$。

  那么如果我们取 $\pi = \pi_1\cup\pi_2$，则有：

​ 两个式子作差，有：

​ 证毕。

如果我们把 $[a,b]$ 转换成 $[a,x]$，那么：

这里因为 $P_f([a,x])$ 和 $N_f([a,x])$ 都是关于 $x$ 的单增函数，所以说明任何 function of bounded variation 都可以拆解为 2 个单增函数。

推论：bounded variation function $f$ differentiable a.e.。

Lecture 30 Absolutely continuous functions

上一讲中，我们证明了对于 $[a,b]$ 上的单调函数，有 $\int_a^x f'd\lambda \le f(x)-f(a)$，并且给出了一个取不等的例子。这一讲中，我们会考虑取等的函数，也就是 absolutely continuous function。

取 $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$，满足 $f$ 可积，即 $\int_a^b|f|d\lambda < \infty$，并定义：

因为 $f$ 可积，所以由 uniform integrability，有：

这意味着，

满足：

满足这个条件的函数被称为 absolutely continuous function。

定义：$g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ 是 absolutely continuous，如果：

由这个定义，上面的 $F(x)=c+\int_a^x fd\lambda$ 是 absolutely continuous function。

定理：$F(x)=c+\int_a^x fd\lambda$ is differentiable a.e.，且 $F'=f$ a.e.。

• 只需要研究 $f\ge0$ 的情况，因为如果进行这样的拆分的话 $f=f^+-f^-$，考虑：

  $$F^+(x)=c+\int_a^x f^+d\lambda, F^-(x)=c+\int_a^x f^-d\lambda, F=F^+-F^-$$

  我们只需要证明 $F^+$ 的情况定理成立即可。

• 在 $f\ge0$ 的情况下，$F$ 是单增的，所以 differentiable a.e.，且

  $$\int_a^x F'd\lambda \le F(x)-F(a) = \int_a^x fd\lambda$$

  下面只需要证明这个 $\le$ 其实是等号。

  • 先考虑 $|f|<K$ 的情况，令 $f_n = \frac{F(x+1/n)-F(x)}{1/n}$，然后我们继续扩展 $F(x)=F(b), x\ge b$。

    因为 $F$ differentiable a.e.，会有 $f_n\rightarrow F'(x)$ a.e.。

    同时还有 $|f_n| \le n\int_x^{x+1/n}fd\lambda \le K$，两边取 $\sup_{x\in[a,b]}$，有 $\sup_{x\in[a,b]}|f_n|\le K$，我们就可以用 bounded convergence theorem（也就是 lecture 16 中 dominated convergence theorem 的特殊情况），有：

    $$\begin{aligned} \int_a^x F'd\lambda &= \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^x f_nd\lambda \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^x n\int_z^{z+1/n}f(y)dydz \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty}n(\int_x^{x+1/n}F(z)dz - \int_a^{a+1/n}F(z)dz) \\ &= F(x)-F(a) = \int_a^x fd\lambda \end{aligned}$$

    这里倒数第二步用了 $F$ 是连续的。

  • 最后来证明 $F$ 是连续的。这由 absolutely continuous 的条件是很容易推出来的。

  • 考虑更一般的 $f\ge0$，令 $f_M=\min(f,M)$，那么 $f_M<M$，它满足：

    $$F_M(x) = c+\int_a^x f_Md\lambda \le c+\int_a^x fd\lambda = F(x)$$

  同时我们还有 a.e.：

  $$\begin{aligned} F_M'(x) &= \lim_{h\rightarrow\infty}\frac{F_M(x+h)-F_M(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow\infty}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f_Md\lambda \\ &\le \lim_{h\rightarrow\infty}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}fd\lambda = F'(x) \end{aligned}$$

  由于 $f_M\uparrow f$，所以由 monotone convergence theorem，有：

  $$\int_a^x fd\lambda = \lim_{M\rightarrow\infty}\int_a^x f_Md\lambda = \lim_{M\rightarrow\infty}\int_a^x F_M'd\lambda \le \int_a^x F'd\lambda$$

  这个反向的不等式，带来了 $\int_a^x fd\lambda = \int_a^x F'd\lambda$。

  • 最后去证明 $F'=f$ a.e.。因为 $f\ge0,F'\ge0$ 且有 integrable，我们会证明：
    $$\forall A\in L, \int_A F'd\lambda = \int_A fd\lambda$$

  用 monotone class 证明。

  令 $C=\{A\subseteq[a,b]\mid \int_A F'd\lambda=\int_A fd\lambda\}$，显然 $(x,y]\in C$，以及 $\sum_{j=1}^n(x_j,y_j]\in C$，说明 $C$ 是个 algebra generated by the intervals。

  我们进一步可以用 monotone convergence theorem 证明 $C$ 是 monotone class。所以 $C$ 是勒贝格 $\sigma$-algebra，即 $L$。

  那么由这个结论，配合之前已经证明过的结论（这个还需要去找一下是哪里证的），会有 $F'=f$ a.e.。

断言：absolute continuous function $f$ 有 bounded variation。

• 我们取 absolute continuous 特性里的 $\varepsilon=1$，对应的有 $\delta$。对于 partition $\pi=\{a=t_0<t_1<\dots<t_N=b\}$，我们可以每 $\delta$ 划分一下，也就是在 $[a,a+\delta], [a+\delta,a+2\delta],\dots, [a+k\delta,b]$ 等等，这样会分成有限段，这样也就证明了 bounded variation。

定理：如果 $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ absolutely continuous，那么 $f$ differentiable a.e.，且 $f(x)=f(a)+\int_a^x f'd\lambda$。

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Lecture 31 Decomposition of distribution

定理：如果 $F$ 单调上升，那么 $F$ 可被分为 3 个函数 $F=F_1+F_2+F_3$。

• $F_1$ 是 jump function。
• $F_2$ 是 absolutely continuous。
• $F_3$ 是 singluar function，即 continuous 且 $f'=0$ a.e.。