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测度论笔记（下）

date: 2024-08-03
tags: 数学  

看的是 IMPA 的 Measure Theory 课，教授是 Claudio Landim。

https://www.youtube.com/playlist?list=PLo4jXE-LdDTQq8ZyA8F8reSQHej3F6RFX

Lecture 24 Hölder and Minkowski inequalities

定义：1≤p<∞,∣∣f∣∣p=(∫Ω∣f∣pdμ)1/p,∣∣f∣∣∞=ess sup∣f∣1\le p < \infty,||f||_p=(\int_\Omega|f|^pd\mu)^{1/p},||f||_\infty=\text{ess sup}|f|

定理（Hölder）：

1p+1q=1,1<p<∞,p=1,q=+∞∣∣f∣∣p<∞,∣∣g∣∣q<∞⇒∫∣fg∣dμ≤∣∣f∣∣p∣∣g∣∣q\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,1<p<\infty,p=1,q=+\infty\\ ||f||_p<\infty,||g||_q<\infty\Rightarrow \int|fg|d\mu \le ||f||_p||g||_q

Lecture 25 Lp\mathcal{L}_p spaces

定义：f:Ω→Rˉ,∣∣f∣∣p=(∫Ω∣f∣pdμ)1/p,1≤p<∞,f:\Omega\rightarrow \bar{\mathbb{R}},||f||_p=(\int_\Omega|f|^pd\mu)^{1/p},1\le p < \infty,

Lp={f:Ω→Rˉ∣∣∣f∣∣p<∞}\mathcal{L}_p=\{f:\Omega\rightarrow\bar{\mathbb{R}}|||f||_p<\infty\}

Lecture 29 Differentiability of functions of bounded variations

定义：函数 f:[a,b]→Rf:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} 单调上升，即 x≤y⇒f(x)≤f(y)x\le y \Rightarrow f(x) \le f(y)。

定义：

(D+f)(x)=lim sup⁡h↓0f(x+h)−f(x)h(D−f)(x)=lim inf⁡h↓0f(x+h)−f(x)h(D+f)(x)=lim sup⁡h↓0f(x)−f(x−h)h(D−f)(x)=lim inf⁡h↓0f(x)−f(x−h)h(D^+f)(x)=\limsup_{h\downarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ (D^-f)(x)=\liminf_{h\downarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ (D_+f)(x)=\limsup_{h\downarrow 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}\\ (D_-f)(x)=\liminf_{h\downarrow 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}

定义：ff 是单调上升的，ff 在 xx differentiable，如果 (D+f)(x)=(D−f)(x)=(D+f)(x)=(D−f)(x)(D^+f)(x)=(D^-f)(x)=(D_+f)(x)=(D_-f)(x)，并用 f′f' 表示这个值。

定理：f:[a,b]→Rf:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} 单调上升，E={x∈R∣f differentiable at x}⇒λ∗(Ec)=0E=\{x\in\mathbb{R}|f \text{ differentiable at }x\}\Rightarrow \lambda^*(E^c)=0

注意：

  • 没有说 EE 是 measurable 的
  • λ∗\lambda^* 是 outer lebesgue measure

证明思路：

  • 我们希望证明 Ec⊆{x∈[a,b]∣(D+f)(x)<(D−f)(x)}∪{x∈[a,b]∣(D−f)(x)<(D+f)(x)}∪...E^c\subseteq \{x\in[a,b]|(D^+f)(x)< (D_-f)(x)\}\cup \{x\in[a,b]|(D_-f)(x)< (D^+f)(x)\}\cup ...，后面的共 2C422 C^2_4 项都满足 λ∗=0\lambda^*=0。
  • 证明不等式右边的每一项都满足 λ∗({x∈[a,b]∣(D−f)(x)<(D+f)(x)})=0\lambda^*(\{x\in[a,b]|(D_-f)(x)< (D^+f)(x)\})=0
  • E1={x∈[a,b]∣(D+f)(x)<(D−f)(x)}=∪s,t∈Q,s<t{x∈[a,b]∣(D−f)(x)<s<t<(D+f)(x)}\begin{aligned} E_1&=\{x\in[a,b]|(D^+f)(x)< (D^-f)(x)\}\\ &=\cup_{s,t\in\mathbb{Q},s<t}\{x\in[a,b]|(D_-f)(x)<s<t<(D^+f)(x)\} \end{aligned}

    所以我们只需要证明：

    ∀s,t∈Q,s<t,λ∗({x∈[a,b]∣(D−f)(x)<s<t<(D+f)(x)})=0\forall s,t\in\mathbb{Q},s<t,\lambda^*(\{x\in[a,b]|(D_-f)(x)<s<t<(D^+f)(x)\})=0

    取 ε>0\varepsilon>0，因为 Es,t={x∈[a,b]∣(D−f)(x)<s<t<(D+f)(x)}E_{s,t}=\{x\in[a,b]|(D_-f)(x)<s<t<(D^+f)(x)\} bounded，所以我们可以找到 open set GG，满足：

    Es,t⊆G,λ∗(G)≤λ∗(Es,t)+εE_{s,t}\subseteq G,\lambda^*(G)\le \lambda^*(E_{s,t}) + \varepsilon

    下面我们要为 Es,tE_{s,t} 构造一个 Vitali's covering。

    这里先略过，后面有好长的证明...

引理：f:[a,b]→Rf:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}，单调上升，那么 f′f' lebesgue measurable，且 ≥0\ge0，以及：

∫abf′dλ≤f(b)−f(a)\int_a^bf'd\lambda\le f(b)-f(a)

  • 由上面的定理，有 fn=f(x+1/n)−f(x)1/n→f′f_n=\frac{f(x+1/n)-f(x)}{1/n}\rightarrow f' a.e.。这证明了 f′f' 是 lebesgue measurable 的，因为他是 measurable function 的极限 a.e.，也是因为这个极限里每个函数都是 ≥0\ge 0 的，所以 f′≥0f'\ge 0。

    由 Fatou's lemma，还有

    ∫abf′dλ≤lim⁡‾n→∞∫abfndλ\int_a^b f'd\lambda\le\underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}\int_a^b f_nd\lambda

    我们可以扩展 f(x)=f(b),x>bf(x)=f(b),x>b，那么上面有：

    lim⁡‾n→∞∫abfndλ=lim⁡‾n→∞n∫ab(f(x+1n)−f(x))dλ(x)=lim⁡‾n→∞n(∫a+1nb+1nf(x)dλ(x)−∫abf(x)dλ(x))=lim⁡‾n→∞n(∫bb+1nf(x)dλ(x)−∫aa+1nf(x)dλ(x))=f(b)−lim⁡‾n→∞n∫aa+1nf(x)dλ(x)≤f(b)−lim⁡‾n→∞n∫aa+1nf(a)dλ(x)=f(b)−f(a)\begin{aligned} \underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}\int_a^b f_nd\lambda &=\underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}n\int_a^b (f(x + \frac{1}{n})-f(x))d\lambda(x)\\ &=\underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}n(\int_{a+\frac{1}{n}}^{b+\frac{1}{n}} f(x)d\lambda(x) - \int_a^b f(x)d\lambda(x))\\ &=\underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}n(\int_{b}^{b+\frac{1}{n}} f(x)d\lambda(x) - \int_a^{a+\frac{1}{n}} f(x)d\lambda(x))\\ &=f(b) - \underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}n\int_a^{a+\frac{1}{n}} f(x)d\lambda(x)\\ &\le f(b) - \underline{\lim}_{n\rightarrow\infty}n\int_a^{a+\frac{1}{n}} f(a)d\lambda(x)\\ &=f(b) - f(a) \end{aligned}

例子：比如说 ff 在 [a,c][a,c] 为 0，在 (c,b)(c,b) 为 1，那么就会取不等。

最后我们尝试把上面的结论扩展到 function with bounded variation。

定义：有 f:[a,b]→R,π={a=t0<t1<...<tp=b}f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R},\pi=\{a=t_0<t_1<...<t_p=b\}，作如下定义

Vf,π=∑i=0p−1∣f(ti+1−f(ti))∣Pf,π=∑i=0p−1(f(ti+1−f(ti)))+Nf,π=∑i=0p−1(f(ti+1−f(ti)))−V_{f,\pi}=\sum_{i=0}^{p-1}|f(t_{i+1}-f(t_i))|\\ P_{f,\pi}=\sum_{i=0}^{p-1}(f(t_{i+1}-f(t_i)))^+\\ N_{f,\pi}=\sum_{i=0}^{p-1}(f(t_{i+1}-f(t_i)))^-

显然 Vf,π=Pf,π+Nf,πV_{f,\pi}=P_{f,\pi}+N_{f,\pi}，以及 f(b)−f(a)=Pf,π−Nf,πf(b)-f(a)=P_{f,\pi}-N_{f,\pi}。

定义：

Vf=sup⁡πVf,πPf=sup⁡πPf,πNf=sup⁡πNf,πV_f=\sup_\pi V_{f,\pi}\\ P_f=\sup_\pi P_{f,\pi}\\ N_f=\sup_\pi N_{f,\pi}

定义：函数 f:[a,b]→Rf:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} 被称为 of bounded variation，如果 Vf<∞V_f<\infty。

断言：bounded variation function ff 满足：

Vf=Pf+Nff(b)−f(a)=Pf−NfV_{f}=P_f+N_f\\ f(b)-f(a)=P_f-N_f

  • 这里我们只证第二个，因为第一个的证明是相同的。

    因为显然 Pf<Vf,Nf<VfP_f<V_f,N_f<V_f ，所以 Pf<∞,Nf<∞P_f<\infty,N_f<\infty，那么 ∃π1={a=t0<t1<...<tp=b}\exist \pi_1=\{a=t_0<t_1<...<t_p=b\}，满足 Pf−ε≤Pf,π1≤PfP_f-\varepsilon\le P_{f,\pi_1}\le P_f，类似地我们可以找到 π2\pi_2 满足 Nf−ε≤Nf,π2≤NfN_f-\varepsilon\le N_{f,\pi_2}\le N_f。

    那么如果我们取 π=π1∪π2\pi=\pi_1\cup\pi_2，则有：

    Pf−ε≤Pf,π≤PfNf−ε≤Nf,π≤NfP_f-\varepsilon\le P_{f,\pi}\le P_f\\ N_f-\varepsilon\le N_{f,\pi}\le N_f

    两个式子作差，有：

    Pf−Nf−ε≤Pf,π−Nf,π=f(b)−f(a)≤Pf−Nf+εP_f -N_f -\varepsilon\le P_{f,\pi}-N_{f,\pi}=f(b)-f(a)\le P_f-N_f +\varepsilon

    证毕。

如果我们把 [a,b][a,b] 转换成 [a,x][a,x]，那么：

f(x)−f(a)=Pf([a,x])−Nf([a,x])f(x)-f(a)=P_f([a,x])-N_f([a,x])

这里因为 Pf([a,x])P_f([a,x]) 和 Nf([a,x])N_f([a,x]) 都是关于 xx 的单增函数，所以说明任何 function of bounded variation 都可以拆解为 2 个单增函数。

推论：bounded variation function ff differentiable a.e.

Lecture 30 Absolutely continuous functions

上一讲中，我们证明了对于 [a,b][a,b] 上的单调函数，有 ∫axf′dλ≤f(x)−f(a)\int_a^xf'd\lambda\le f(x)-f(a)，并且给出了一个取不等的例子。这一讲中，我们会考虑取等的函数，也就是 absolutely continuous function。

取 f:[a,b]→Rf:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}，满足 ff integrable，即 ∫ab∣f∣dλ<∞\int_a^b|f|d\lambda<\infty，并定义：

F(x)=c+∫axfdλF(x)=c+\int_a^xfd\lambda

因为 ff integrable，所以由 uniform integrability，有：

∀ε>0,∃δ, s.t. ∀λ(B)<δ⇒∫B∣f∣dλ≤ε\forall \varepsilon>0,\exists \delta,\text{ s.t. }\forall \lambda(B)<\delta\Rightarrow \int_B|f|d\lambda \le \varepsilon

这意味着，

∀ε>0,∃I1,I2,...,IM,Ij=[aj,bj],Ij∩Ik=∅,∑j=1M∣Ij∣<δ\forall \varepsilon>0,\exist I_1,I_2,...,I_M,I_j=[a_j,b_j],I_j\cap I_k=\varnothing,\sum_{j=1}^M|I_j|<\delta

满足：

ε≥∫∪Ij∣f∣dλ=∑j∫Ij∣f∣dλ≥∑j∣F(bj)−F(aj)∣\begin{aligned} \varepsilon\ge\int_{\cup I_j}|f|d\lambda&=\sum_j\int_{I_j}|f|d\lambda\\ &\ge \sum_j|F(b_j)-F(a_j)| \end{aligned}

满足这个条件的函数被称为 absolutely continuous function。

定义：g:[a,b]→Rg: [a,b]\rightarrow\mathbb{R} 是 absolutely continuous，如果：

∀ε>0,∃δ, s.t. ∀Ij=(aj,bj),1≤j≤M,Ij∩Ik=∅,∑j=1M∣Ij∣≤δ⟹∑j=1M∣g(bj)−g(aj)∣≤ε\forall \varepsilon>0,\exist \delta,\text{ s.t. } \forall I_j=(a_j,b_j),1\le j\le M,I_j\cap I_k=\varnothing,\sum_{j=1}^M|I_j|\le \delta\\ \Longrightarrow \sum_{j=1}^M|g(b_j)-g(a_j)|\le \varepsilon

由这个定义，上面的 F(x)=C+∫axfdλF(x)=C+\int_a^xfd\lambda 是 absolutely continuous function。

定理：F(x)=C+∫axfdλF(x)=C+\int_a^xfd\lambda is differentiable a.e.，且 F′=fF'=f a.e.

  • 只需要研究 f≥0f\ge 0 的情况，因为如果进行这样的拆分的话 f=f+−f−f=f_+-f_-，考虑：

    F+(x)=c+∫axf+dλF−(x)=c+∫axf−dλF=F+−F−F_+(x)=c+\int_a^xf_+d\lambda\\ F_-(x)=c+\int_a^xf_-d\lambda\\ F=F_+-F_-

    我们只需要证明 F+F_+ 的情况定理成立即可。

  • 在 f≥0f\ge0 的情况下，FF 是单增的，所以 differentiable a.e.，且

    ∫axF′dλ≤F(x)−F(a)=∫axfdλ\int_a^xF'd\lambda\le F(x)-F(a)=\int_a^xfd\lambda

    下面只需要证明这个 ≤\le 其实是等号。

    • 先考虑 ∣f∣<K|f|<K 的情况，令 fn=F(x+1/n)−F(x)1/nf_n=\frac{F(x+1/n)-F(x)}{1/n}，然后我们继续扩展 F(x)=F(b),x≥bF(x)=F(b),x\ge b。

    因为 FF differentiable a.e.，会有 fn→F′(x)f_n\rightarrow F'(x) a.e.

    同时还有 ∣fn∣≤n∫xx+1nfdλ≤K|f_n|\le n\int_x^{x+\frac{1}{n}}fd\lambda\le K，两边取 sup⁡x∈[a,b]\sup_{x\in[a,b]}，有 sup⁡x∈[a,b]∣fn∣≤K\sup_{x\in[a,b]} |f_n|\le K，我们就可以用 bounded convergence theorem（也就是 lecture 16 中 dominated convergence theorem 的特殊情况），有：

    ∫axF′dλ=lim⁡n→∞∫axfndλ=lim⁡n→∞∫axF(z+1n)−F(z)1ndz=lim⁡n→∞n(∫xx+1nF(z)dz−∫aa+1nF(z)dz)=F(x)−F(a)=∫axfdλ\begin{aligned} \int_a^xF'd\lambda&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^xf_nd\lambda\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^x\frac{F(z+\frac{1}{n})-F(z)}{\frac{1}{n}}dz\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}n(\int_x^{x+\frac{1}{n}}F(z)dz-\int_a^{a+\frac{1}{n}}F(z)dz)\\ &=F(x)-F(a)=\int_a^xfd\lambda \end{aligned}

    这里倒数第二步用了 FF 是 continuous 的。

    • 最后来证明 FF 是 continuous 的。这由 absolutely continuous 的条件是很容易推出来的。
    • 考虑更一般的 f≥0f\ge0，令 fM=min⁡(f,M)f_M=\min{(f,M)}，那么 fM<Mf_M<M，它满足：
    FM(x)=c+∫axFM′(x)=∫axfMdλ≤c+∫axfdλ=F(x)F_M(x)=c+\int_a^xF_M'(x)=\int_a^xf_Md\lambda\le c+\int_a^xfd\lambda=F(x)

    同时我们还有 a.e.

    FM′(x)=lim⁡n→∞FM(x+h)−FM(x)h=lim⁡n→∞1h∫xx+hfMdλ≤lim⁡n→∞1h∫xx+hfdλ=F′(x)F_M'(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_M(x+h)-F_M(x)}{h} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f_Md\lambda \le \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}fd\lambda=F'(x)

    由于 fM↑ff_M\uparrow f，所以由 monotone convergence theorem，有：

    ∫axfdλ=lim⁡M→∞∫axfMdλ=lim⁡M→∞∫axFM′dλ≤∫axF′dλ\begin{aligned} \int_a^xfd\lambda&=\lim_{M\rightarrow\infty}\int_a^xf_Md\lambda=\lim_{M\rightarrow\infty}\int_a^xF_M'd\lambda\\ &\le\int_a^xF'd\lambda \end{aligned}

    这个反向的不等式，带来了 ∫axfdλ=∫axF′dλ\int_a^xfd\lambda=\int_a^xF'd\lambda

    • 最后去证明 F′=fF'=f a.e.。因为 f≥0,F′≥0f\ge0,F'\ge0 且有 integrable，我们会证明：
    ∀A∈L,∫AF′dλ=∫Afdλ\forall A\in\mathcal{L},\int_A F'd\lambda=\int_A fd\lambda

    用 monotone class 证明。

    令 C={A⊆[a,b]∣∫AF′dλ=∫Afdλ}\mathcal{C}=\{A\subseteq[a,b]|\int_A F'd\lambda=\int_A fd\lambda\}，显然 (x,y]∈C(x,y]\in\mathcal{C}，以及 ∑j=1n(xj,yj]∈C\sum_{j=1}^n(x_j,y_j]\in\mathcal{C}，说明 C\mathcal{C} 是个 algebra generated by the intervals。

    我们进一步可以用 monotone convergence theorem 证明 C\mathcal{C} 是 monotone class。所以 C\mathcal{C} 是 lebesgue σ\sigma-algebra，即 L\mathcal{L}。

    那么由这个结论，配合之前已经证明过的结论（这个还需要去找一下是哪里证的），会有 F′=fF'=f a.e.

断言：absolute continuous function ff 有 bounded variation。

  • 我们取 absolute continuous 特性里的 ε=1\varepsilon=1，对应的有 δ\delta。对于 partition π={a=t0<t1<...<tN=b}\pi=\{a=t_0<t_1<...<t_N=b\}，我们可以每 δ\delta 划分一下，也就是在 [a,a+δ],[a+δ,a+2δ],...,[a+kδ,b][a, a+\delta], [a+\delta, a+ 2\delta],...,[a+k\delta,b] 等等，这样会分成有限段，这样也就证明了 bounded variation。

定理：f:[a,b]→Rf:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} absolute continuous，那么 ff differentiable a.e.，且 f(x)=f(a)+∫axf′dλf(x)=f(a)+\int_a^x f'd\lambda。

Lecture 31 Decomposition of distribution

定理：FF 单调上升，那么 ff 可被分为 3 个函数 F=F1+F2+F3F=F_1 + F_2 + F_3

  • F1F_1 是 jump function
  • F2F_2 absolutely continuous
  • F3F_3 是 singluar function，即 continuous 且 f′=0f'=0 a.e.